RMQ问题-very easy-打印模板

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题 

主要方法及复杂度(处理复杂度和查询复杂度)如下: 
1.朴素（即搜索） O(n)-O(n) 
2.线段树(segment tree) O(n)-O(logn) 

3.ST（实质是动态规划） O(nlogn)-O(1)

ST算法（Sparse Table）:它是一种动态规划的方法。 
以最小值为例。a为所寻找的数组. 
用一个二维数组f(i,j)记录区间[i,i+2^j-1](持续2^j个)区间中的最小值。其中f[i,0] = a[i]; 
所以，对于任意的一组(i,j)，f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}来使用动态规划计算出来。 
这个算法的高明之处不是在于这个动态规划的建立，而是它的查询：它的查询效率是O(1). 
假设我们要求区间[m,n]中a的最小值，找到一个数k使得2^k<n-m+1.  // 求这个k值有自己的方法可以弄
这样，可以把这个区间分成两个部分：[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n].我们发现，这两个区间是已经初始化好的. 
前面的区间是f(m,k)，后面的区间是f(n-2^k+1,k). 
这样，只要看这两个区间的最小值，就可以知道整个区间的最小值！ 

二维RMQ模板：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <vector>#include <set>#include <map>using namespace std;const int maxn = 305;double a[maxn][maxn],sqx[maxn][maxn],x[maxn][maxn],t[maxn],tsq[maxn];double dp[maxn][maxn][9][9];int m,n,q;void rmq_2d(void){    for(int row = 1 ; row <= m ; row++)        for(int col = 1 ; col <= n ; col++)            dp[row][col][0][0] = a[row][col];    int t = log((double)n) / log(2.0);    for(int i = 0 ; i <= t ; i++)    {        for(int j = 0 ; j <= t ; j++)        {            if(i == 0 && j == 0)                continue;            for(int row = 1 ; row+(1<<i)-1 <= m ; row++)            {                for(int col = 1 ; col+(1<<j)-1 <= n ; col++)                {                    if(i == 0)                    {                        dp[row][col][i][j] = max(dp[row][col][i][j-1] , dp[row][col+(1<<(j-1))][i][j-1]);                    }                    else                    {                        dp[row][col][i][j] = max(dp[row][col][i-1][j] , dp[row+(1<<(i-1))][col][i-1][j]);                    }                }            }        }    }}int query_2d(int x1,int x2,int y1,int y2){    int kx = log(double(x2 - x1 +1)) / log(2.0);    int ky = log(double(y2 - y1 +1)) / log(2.0);    double m1 = dp[x1][y1][kx][ky];    double m2 = dp[x2-(1<<kx)+1][y1][kx][ky];    double m3 = dp[x1][y2-(1<<ky)+1][kx][ky];    double m4 = dp[x2-(1<<kx)+1][y2-(1<<ky)+1][kx][ky];    double ans = max( max(m1,m2), max(m3,m4) );    return ans;}void init(){    for(int i=1; i<=m; i++) for(int j=1; j<=n; j++) scanf("%lf",&a[i][j]);    memset(sqx,0,sizeof(sqx));    memset(x,0,sizeof(x));    t[0] = tsq[0] = 0;    for(int i=1; i<=m; i++)    {        for(int j=1; j<=n; j++)        {            t[j] = t[j-1] + a[i][j];            tsq[j] = tsq[j-1] + a[i][j] * a[i][j];        }        for(int j=1; j<=n; j++)        {            sqx[i][j] = sqx[i-1][j] + tsq[j];            x[i][j] = x[i-1][j] + t[j];        }    }}void Work(){    rmq_2d();  //  cout << query_2d(2,4,2,4) << endl;    scanf("%d",&q);    while(q--)    {        int u,v;        scanf("%d %d",&u,&v);        double nn = ((double)u) * ((double)v) - 1;        double ans = -1,tmp;        int ansi,ansj;        for(int i=u; i<=m; i++)        {            for(int j=v; j<=n; j++)            {                double hmax = query_2d(i-u+1,i,j-v+1,j);                double tt = x[i][j] - x[i-u][j] - x[i][j-v] + x[i-u][j-v] - hmax;                tmp = sqx[i][j] - sqx[i-u][j] - sqx[i][j-v] + sqx[i-u][j-v] - hmax * hmax;                tmp -= tt * tt / nn;                if(ans<0 || tmp<ans)                {                    ans = tmp;                    ansi = i - u + 1;                    ansj = j - v + 1;                }            }        }        printf("(%d, %d), %.2lf\n",ansi,ansj,ans/nn);    }}int main(){    int ta = 1;    while(scanf("%d%d",&m,&n) == 2)    {        printf("Case %d:\n",ta++);        init();        Work();    }    return 0;}

#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;#define M 100010#define MAXN 500#define MAXM 500int dp[M][18];/**一维RMQ ST算法*构造RMQ数组 makermq(int n,int b[]) O(nlog(n))的算法复杂度*dp[i][j] 表示从i到i+2^j -1中最小的一个值(从i开始持续2^j个数)*dp[i][j]=min{dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]}*查询RMQ rmq(int s,int v)*将s-v 分成两个2^k的区间*即 k=(int)log2(s-v+1)*查询结果应该为 min(dp[s][k],dp[v-2^k+1][k])*/void makermq(int n,int b[]){    int i,j;    for(i=0;i<n;i++)        dp[i][0]=b[i];    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)        for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int rmq(int s,int v){    int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));    return min(dp[s][k],dp[v-(1<<k)+1][k]);}void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值对应的下标{    int i,j;    for(i=0;i<n;i++)        dp[i][0]=i;    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)        for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)            dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];}int rmqIndex(int s,int v,int b[]){    int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));    return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];}int main(){    int a[]={3,4,5,7,8,9,0,3,4,5};    //返回下标    makeRmqIndex(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);    cout<<rmqIndex(0,9,a)<<endl;    cout<<rmqIndex(4,9,a)<<endl;    //返回最小值    makermq(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);    cout<<rmq(0,9)<<endl;    cout<<rmq(4,9)<<endl;    return 0;}