【java 面试100】18.约瑟夫循环问题

题目：n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，
每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。
当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。

求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

方法一：设置数组，循环计数到m将其删除，删除n-1个后剩的数就是所求。可以用boolean数组，也可以用int数组置零（joseph2）

方法二：(转)

我们试着从数学上分析出一些规律。
    首先定义最初的n个数字（0,1,…,n-1）中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。

在这n个数字中，第一个被删除的数字是m%n-1，为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。

    相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从0开始的连续序列），因此该函数不同于前面函数，记为f’(n-1,m)。

最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m)，所以f(n,m)=f’(n-1,m)。

    接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列：

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->   n-k-2
0      ->   n-k-1
…
k-1    ->   n-2

    把映射定义为p，则p(x)= (x-k-1)%n，即如果映射前的数字是x，则映射后的数字是(x-k-1)%n。对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。

    由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则，映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

    经过上面复杂的分析，我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字，并可以依此类推。当n=1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为：

                 0                  n=1
f(n,m)={
                 [f(n-1,m)+m]%n     n>1

    尽管得到这个公式的分析过程非常复杂，但它用递归或者循环都很容易实现。最重要的是，这是一种时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)的方法，因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路一。（代码joseph）

public class Joseph {public static int joseph(int n,int m){int fn=0;for(int i=2;i<=n;i++){fn=(fn+m)%i;}return fn;}public static int joseph2(int n,int m){int []num=new int[n];int i=0;for(i=0;i<n;i++){num[i]=i+1;}int k=0;//计数m个就删除i=0;//控制数组下标int del=0;//删除的个数while(del<n-1){if(num[i]!=0)k++;if(k==m){num[i]=0;k=0;del++;}i++;if(i==n)i=0;}k=0;while(num[k]==0) k++;return --num[k];//存的位置，要减1}public static void main(String[] args) {int n=6;int m=2;System.out.println(joseph(n, m));System.out.println(joseph2(n, m));}}