Matrix使用和详细说明

以前在线性代数中学习了矩阵，对矩阵的基本运算有一些了解，前段时间在使用GDI+的时候再次学习如何使用矩阵来变化图像，看了之后在这里总结说 明。

首先大家看看下面这个3 x 3的矩阵，这个矩阵被分割成4部分。为什么分割成4部分，在后面详细说明。

首先给大家举个简单的例子：现设点P0（x0， y0）进行平移后，移到P（x，y），其中x方向的平移量为△x，y方向的平移量为△y，那么，点P（x，y）的坐标为：

x = x0  + △x
y = y0  + △y

采用矩阵表达上述如下：

上述也类似与图像的平移，通过上述矩阵我们发现，只需要修改矩阵右上角的2个元素就可以了。

我们回头看上述矩阵的划分：

为了验证上面的功能划分，我们举个具体的例子：现设点P0（x0 ，y0）进行平移后，移到P（x，y），其中x放大a倍，y放大b倍，

矩阵就是： ，按照类似前面“平移”的方法就验证。

图像的旋转稍微复杂：现设点P0（x0， y0）旋转θ角后的对有点为P（x， y）。通过使用向量，我们得到如下：

x0 = r  cosα
y0 = r  sinα

x = r cos(α-θ) = x0 cosθ+ y0 sinθ
y = r sia(α-θ) = -x0 sinθ+y0 cosθ

于是我们得到矩阵：

如果图像围绕着某个点(a ，b)旋转呢？则先要将坐标平移到该点，再进行旋转，然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点，在后面的篇幅中我们将详细介绍。

 

从高等数学方面给大家介绍了Matrix，本篇幅我们就结合Android 中的android.graphics.Matrix来具体说明，还记得我们前面说的图像旋转的矩阵：

从最简单的旋转90度的是：

在android.graphics.Matrix中有对应旋转的函数：
Matrix matrix = new Matrix();
matrix.setRotate(90);
Test.Log(MAXTRIX_TAG,”setRotate(90):%s” , matrix.toString());

查看运行后的矩阵的值（通过Log输出）：

与上面的公式基本完全一样（android.graphics.Matrix采用的是浮点数，而我们采用的整数）。

有了上面的例子，相信大家就可以亲自尝试了。通过上面的例子我们也发现，我们也可以直接来初始化矩阵，比如说要旋转30度：

前面给大家介绍了这么多，下面我们开始介绍图像的镜像 ，分为2种：水平镜像、垂直镜像。先介绍如何实现垂直镜 像，什么是垂直镜像就不详细说明。图像的垂直镜像变化也可以用矩阵变化的表示，设点P0（x0 ，y0 ）进行镜像后的对应点为P（x ，y ），图像的高度为fHeight，宽度为fWidth，原图像中的P0（x0 ，y0 ）经过垂直镜像后的坐标变为（x0 ，fHeight- y0）；
x = x0
y = fHeight – y0
推导出相应的矩阵是：

final float f[] = {1.0F,0.0F,0.0F,0.0F,-1.0F,120.0F,0.0F,0.0F,1.0F};
Matrix matrix = new Matrix();
matrix.setValues(f);

按照上述方法运行后的结果：

至于水平镜像采用类似的方法，大家可以自己去试试吧。

实际上，使用下面的方式也可以实现垂直镜像：
Matrix matrix = new Matrix();
matrix.setScale (1.0，-1.0);
matrix.postTraslate(0, fHeight);

这就是我们将在后面的篇幅中详细说明。

什么是对称变换？具体的理论就不详细说明了，图像的镜像就是对称变换中的一种。

利用上面的总结做个具体的例子，产生与直线y= – x对称的反射图形，代码片段如下：

当前矩阵输出是：

图像变换的效果如下：

 

什么是图像的错切变换 （Shear transformation）？我们还是直接看图片错切变换后是的效果：

对图像的错切变换做个总结：

x = x0 + b*y0;

y = d*x0 + y0;

这里再次给大家介绍一个需要注意的地方：

通过以上，我们发现Matrix的setXXXX()函数，在调用时调用了一次reset()，这个在复合变换时需要注意。

 

Preconcats matrix or  Postconcats matrix?

从最基本的高等数学开始，Matrix的基本操作包括：+、*。Matrix的乘法不满足交换律，也就是说A*B ≠B*A。

还有2种常见的矩阵：

有了上面的基础，下面我们开始进入主题。由于矩阵不满足交换律，所以用矩阵B乘以矩阵A，需要考虑是左乘（B*A），还 是右乘（A*B）。在Android的android.graphics.Matrix中为我们提供了类似的方法，也就是我们本篇幅要说明的 Preconcats matrix 与 Postconcats  matrix。下面我们还是通过具体的例子还说明：

通过输出的信息，我们分析其运行过程如下：

看了上面的输出信息。我们得出结论：Preconcats matrix相当于右乘矩阵，Postconcats  matrix 相 当于 左乘矩阵 。

上一篇副中，我们说到：

其运行过程的详细分析就不在这里多说了。

 

我们留下一个话题：如果图像围绕着某个点P(a，b)旋转，则先要将坐标系平移到该点，再进行旋转，然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点。

我们需要3步：

1. 平移 ——将坐标系平移到点P(a，b)；
2. 旋转 ——以原点为中心旋转图像；
3. 平移 ——将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点；

相比较前面说的图像的几何变化（基本的图像几何变化），这里需要平移——旋转——平移 ，这种需要多种图像的几何 变化就叫做图像的复合变化 。

设对给定的图像依次进行了基本变化F1、F2、F3…..、Fn，它们的变化矩阵分别为T1、T2、T3…..、Tn，图像复合变 化的矩阵T可以表示为：T = TnTn-1…T1。

按照上面的原则，围绕着某个点(a，b)旋转θ的变化矩阵序列是：

按照上面的公式，我们列举一个简单的例子：围绕（100，100）旋转30度(sin 30 = 0.5 ，cos 30 = 0.866)
float f[]= { 0.866F,  -0.5F, 63.4F,0.5F, 0.866F,-36.6F,0.0F,    0.0F,  1.0F };
matrix = new Matrix ();
matrix.setValues (f);
旋转后的图像如下：

Android为我们提供了更加简单的方法，如下：
Matrix matrix = new Matrix ();
matrix.setRotate (30，100，100);
矩阵运行后的实际结果：
 
与我们前面通过公式获取得到的矩阵完全一样。

在这里我们提供另外一种方法，也可以达到同样的效果：
float a = 100.0F,b = 100.0F;
matrix = new Matrix ();
matrix.setTranslate (a,b);
matrix.preRotate (30);
matrix.preTranslate (-a,-b);
将在后面的篇幅中为大家详细解析

通过类似的方法，我们还可以得到：相对点P(a，b)的比例[sx,sy]变化矩阵

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