hdu - 4323 - Magic Number - dp + 数据结构优化
来源:互联网 发布:网络思想政治教育方法 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 13:53
题意:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4323
对于每个询问,输出给定一列数里面与询问的数a编辑距离小于等于b的数。
解:
dp,编辑距离。
转自Matrix67
除了字符串匹配、查找回文串、查找重复子串等经典问题以外,日常生活中我们还会遇到其它一些怪异的字符串问题。比如,有时我们需要知道给定的两个字符串“有多像”,换句话说两个字符串的相似度是多少。1965年,俄国科学家Vladimir Levenshtein给字符串相似度做出了一个明确的定义叫做Levenshtein距离,我们通常叫它“编辑距离”。字符串A到B的编辑距离是指,只用插入、删除和替换三种操作,最少需要多少步可以把A变成B。例如,从FAME到GATE需要两步(两次替换),从GAME到ACM则需要三步(删除G和E再添加C)。Levenshtein给出了编辑距离的一般求法,就是大家都非常熟悉的经典动态规划问题。
在自然语言处理中,这个概念非常重要,例如我们可以根据这个定义开发出一套半自动的校对系统:查找出一篇文章里所有不在字典里的单词,然后对于每个单词,列出字典里与它的Levenshtein距离小于某个数n的单词,让用户选择正确的那一个。n通常取到2或者3,或者更好地,取该单词长度的1/4等等。这个想法倒不错,但算法的效率成了新的难题:查字典好办,建一个Trie树即可;但怎样才能快速在字典里找出最相近的单词呢?这个问题难就难在,Levenshtein的定义可以是单词任意位置上的操作,似乎不遍历字典是不可能完成的。现在很多软件都有拼写检查的功能,提出更正建议的速度是很快的。它们到底是怎么做的呢?1973年,Burkhard和Keller提出的BK树有效地解决了这个问题。这个数据结构强就强在,它初步解决了一个看似不可能的问题,而其原理非常简单。
首先,我们观察Levenshtein距离的性质。令d(x,y)表示字符串x到y的Levenshtein距离,那么显然:
1. d(x,y) = 0 当且仅当 x=y (Levenshtein距离为0 <==> 字符串相等)
2. d(x,y) = d(y,x) (从x变到y的最少步数就是从y变到x的最少步数)
3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z) (从x变到z所需的步数不会超过x先变成y再变成z的步数)
最后这一个性质叫做三角形不等式。就好像一个三角形一样,两边之和必然大于第三边。给某个集合内的元素定义一个二元的“距离函数”,如果这个距离函数同时满足上面说的三个性质,我们就称它为“度量空间”。我们的三维空间就是一个典型的度量空间,它的距离函数就是点对的直线距离。度量空间还有很多,比如Manhattan距离,图论中的最短路,当然还有这里提到的Levenshtein距离。就好像并查集对所有等价关系都适用一样,BK树可以用于任何一个度量空间。
建树的过程有些类似于Trie。首先我们随便找一个单词作为根(比如GAME)。以后插入一个单词时首先计算单词与根的Levenshtein距离:如果这个距离值是该节点处头一次出现,建立一个新的儿子节点;否则沿着对应的边递归下去。例如,我们插入单词FAME,它与GAME的距离为1,于是新建一个儿子,连一条标号为1的边;下一次插入GAIN,算得它与GAME的距离为2,于是放在编号为2的边下。再下次我们插入GATE,它与GAME距离为1,于是沿着那条编号为1的边下去,递归地插入到FAME所在子树;GATE与FAME的距离为2,于是把GATE放在FAME节点下,边的编号为2。
查询操作异常方便。如果我们需要返回与错误单词距离不超过n的单词,这个错误单词与树根所对应的单词距离为d,那么接下来我们只需要递归地考虑编号在d-n到d+n范围内的边所连接的子树。由于n通常很小,因此每次与某个节点进行比较时都可以排除很多子树。
举个例子,假如我们输入一个GAIE,程序发现它不在字典中。现在,我们想返回字典中所有与GAIE距离为1的单词。我们首先将GAIE与树根进行比较,得到的距离d=1。由于Levenshtein距离满足三角形不等式,因此现在所有离GAME距离超过2的单词全部可以排除了。比如,以AIM为根的子树到GAME的距离都是3,而GAME和GAIE之间的距离是1,那么AIM及其子树到GAIE的距离至少都是2。于是,现在程序只需要沿着标号范围在1-1到1+1里的边继续走下去。我们继续计算GAIE和FAME的距离,发现它为2,于是继续沿标号在1和3之间的边前进。遍历结束后回到GAME的第二个节点,发现GAIE和GAIN距离为1,输出GAIN并继续沿编号为0到2的边递归下去(那条编号为4的边连接的子树又被排除掉了,在这个图中没有编号为0的边)……
实践表明,一次查询所遍历的节点不会超过所有节点的5%到8%,两次查询则一般不会17-25%,效率远远超过暴力枚举。适当进行缓存,减小Levenshtein距离常数n可以使算法效率更高。
#include <cstdio>#include <cstring>const int MAXN = 1505;int dp[15][15];char magic[MAXN][15];int len[MAXN];char temp[15];inline int min(const int &x, const int &y){ return x < y ? x : y;}inline int min(const int &x, const int &y, const int &z){ return min(x, min(y, z));}int main(){ int t, n, m; scanf("%d", &t); for(int cas=1;cas<=t;++cas) { scanf("%d%d", &n, &m); for(int i=0;i<n;++i) { scanf("%s", magic[i]); len[i] = strlen(magic[i]); } printf("Case #%d:\n", cas); int threshold; for(int i=0;i<m;++i) { scanf("%s%d", temp, &threshold); int ans = 0; int l = strlen(temp); for(int j=0;j<n;++j) { for(int k=0;k<=l;++k) { dp[0][k] = k; } for(int k=0;k<=len[j];++k) { dp[k][0] = k; } for(int ii=0;ii<len[j];++ii) { for(int jj=0;jj<l;++jj) { dp[ii+1][jj+1] = min(dp[ii][jj+1] + 1, dp[ii+1][jj] + 1, dp[ii][jj] + (magic[j][ii] == temp[jj] ? 0 : 1)); } } if(dp[len[j]][l] <= threshold) { ++ ans; } } printf("%d\n", ans); } } return 0;}
BK树模板:
class BK { int maxn = 12;// 最大距离 class node { node ch[]; String key; int count; node(String s) { key = s; count = 1; ch = new node[maxn]; } } node root; int dp[][] = new int[maxn][maxn]; int dis(String a, String b) { int n = a.length(); int m = b.length(); for (int i = 0; i < maxn; i++) dp[0][i] = dp[i][0] = i; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { int flag = 1; if (a.charAt(i - 1) == b.charAt(j - 1)) flag = 0; dp[i][j] = Math.min( Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])+1, dp[i - 1][j - 1] + flag); } } return dp[n][m]; } void init() { root = null; } void insert(String s, node r) { int d = dis(r.key, s); if (d == 0){ r.count++; } else if(r.ch[d]==null) r.ch[d]=new node(s); else insert(s, r.ch[d]); } void insert(String s) { if(root==null) root= new node(s); else insert(s, root); } int query(String s, int n) { return query(root, s, n); } int query(node r, String s, int n) { int ans = 0; if (r == null) return 0; int d = dis(r.key, s); if (d <= n) ans += r.count; int a = Math.max(d - n, 1), b = Math.min(maxn-1, d + n); for (int i = a; i <= b; i++) ans += query(r.ch[i], s, n); return ans; } }
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