单调队列优化dp 理解

首先看这样一个方程：f[i] = max{f[j] + s[i] - s[j + 1]}, j >= i - m 。

对于该方程，如何用单调队列优化呢？

移项之后，有 f[i] - s[i] = f[j] - s[j + 1] 。很显然，维护等式右边的值单调递减即可，每次剔除无用决策，在用当前所得决策更新所有不如其优的决策，因为那些决策如果不如当前决策优，那么他们便毫无用处了。这样每次的决策都是最优的。

然而再看这样一个方程：f[i] = min{f[j] + i - j - 1}, g[i] = min{s[i] - s[j]}, g[i] >= g[j] 。

这样的方程看上去并无单调性。然而，又可以发现两个性质：

1. f[j] - j 单调非升。显然，j 每次增大 1，而 f[j] 却不一定。

2. s[i] >= s[j] + g[j] 成立，则决策合法，而 s[i] 单调递增。

如何利用这两个性质呢？

首先对于性质 1，可以知道越靠后的决策越优。而对于性质 2，每次都可以在退队首的时候判断更靠后的决策是否可行，以及为了使 g[i] 取到最小值，在已知靠后决策不更差的情况下退队尾。这样一来，即维护了一个决策单调递增，决策代价单调非降，g 值单调非降的单调队列。这样，每次取到更新过的队头，都是最优值。

以上的两个例子无论是从单调性还是取值，都截然不同，但都是用单调队列维护。所以说考试的时候要认真分析。