人人网笔试题1

七夕那天，雯雯的男朋友小俞给她买了一颗神奇的魔石。这颗魔石平常是暗淡无光的，但只要给这颗魔石擦上魔粉，魔石就会从内部发出不同颜色的绚丽光泽。非常好看。发出的光的颜色，是在魔石上擦的所有魔粉的编号的异或(Xor)值（如果异或值为0，也是一种颜色，异或值相同表示颜色相同）。雯雯手上现在一共有6种魔粉，编号是6 7 17 46 47 56。雯雯非常想知道这颗魔石究竟能发出多少种颜色的光。由于组合实在太多，雯雯便跑过来求助聪明的你，相信你不会让她失望。

如果魔粉有20种（编号256以内），又该如何计算？

转自@研究者July 的Blog 第35题

http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7974418

二进制运算的特点：

① n个数做and操作，如果一个数出现多次，那么和它出现1次结果一致。

② n个数做or操作，如果一个数出现多次，那么和它出现1次结果一致。

③ n个数做xor操作，如果一个数出现奇数次，那么和它出现1次结果一致，偶数次和它没出现一致。

然后用归纳法：

假设我们有k种魔粉可以弄出s种颜色，那么加入第k+1种，会是什么情况？

1> 如果s已经包含了第k+1种，那么还是s种，因为我们可以用前k种通过xor运算替代第k+1种，然后再与前k种颜色做各种操作，根据二进制操作特点③，实际前k种颜色每种都不超过1，所以能形成的颜色种类并没有增长。

2> 如果s不包含第k+1种，那么结果一定是2s种，这是因为根据二进制操作特点③，新的颜色必然包含1个第k+1种颜色，否则它没出现的话，不可能形成新的颜色。而第k种颜色和之前的s种颜色进行xor，能得到新的s种颜色，新的s种颜色两两不等（否则除去第k+1种，原来的s种颜色存在重复），另外新的s种和老的s种不存在相同颜色（否则之前的s种颜色可以形成第k+1种颜色），所以结果一定是2s种。

f(x)表示使用x种魔粉能形成的颜色。

则f(0) = 1

f( n+1 ) = f(n) 或者 2*f( n )，必然是2的幂。

然后颜色的无关性可以通过将所有的颜色的2进制进行一个矩阵排列，找出这个矩阵的秩。

例如给定颜色1,3,7，那么矩阵就是

001

011

111

矩阵的秩是3，那么颜色总数就是2^3 = 8

第1问：就用2进制的枚举，也是很快的，总共6种魔粉，不能不选，全枚举的话是2^6 - 1。方法就是for(int i = 1; i <= 2^6; i++)，然后将i转为长度为6的二进制，0对应不选，1对应选。最后将选中的异或就可以了。

 

第2问：用类似01整数背包的方法就可以求解，因为编号在256之内，因此能产生的颜色也不超过256种，那么用个长为256的bool数组，用来记录可以产生哪些编号的颜色。初始全为false。每加入一种魔粉，先用这种魔粉同已经存在的(值为true)的状态做Xor，并将结果对应的bool变量设为true。最后再将魔粉本身的编号设为true。这样总的复杂度为256*n，n为魔粉的数量。

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