【引】 迭代与递推算法

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一、实验名称：

实验Ａ：迭代与递推算法

二、实验目的：

1、掌握迭推算法的概念及适应范围

2、熟悉迭推算法的设计原理

三、实验器材：

1、计算机

四、实验内容：

迭代与递推算法：基本思路实质是相同的，即不断利用已知的数据推出未知的数据，再利用推出的数据及以前的数据继续推导，直到推出所要的结果为止。

这种算法的关键点有如下几方面：

1）确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

2）建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个（或一组）值推出其下一个（或一组）值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

3）对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

1、猴子吃桃问题：猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半多一个。到第30天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了。求第一天共摘了多少。

根据题意，设Si为第i天所拥有的桃子，则前后相邻两天的桃子数有如下关系：

此时由于最后一天（第30天的）是已知的，根据上述公式可推出第29天的；而根据第29天的又可以推出第28天的……，重复上述工作，就可以推出第1天的个数。推导过程如下图：

则相应算法流程如下：

相应程序如下：

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define N 30

void main()

{

int i,si,si1;

si1=1;

for(i=N-1;i>=1;i--)

{

si=2*si1+2;

si1=si;

}

printf(\"\\n共%d天，则第一天的桃子数为%d\\n\",N,si);

system(\"pause\");

}

2、兔子问题：13世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，于是筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？

说明：假设兔子不死，每生一次刚好就是一雌一雄。

现在我们寻求兔子繁殖的规律。成熟的一对兔子用记号●表示，未成熟的用○表示。每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的●及新生的未成熟○。未成熟的一对○经过一个月变成成熟的●，不过没有出生新兔，这样便可画出下图：

可以看出五个月兔子的对数是1，2，3，5，8。很容易发现这个数列的特点：即从第三项起，每一项都等于前两项之和，即：

人们为了纪念斐波那契，就以他的名字命名了这个数列，该数列的每一项称为斐波那契数。

斐波那契数列有许多有趣的性质，除了外，还可以证明它的通项公式如下：

可它的每一项却都是整数。而且这个数列中相邻两项的比值，越靠后其值越接近0.618（黄金分割比值）。这个数列有广泛的应用，如树的年分枝数目就遵循斐波那契数列的规律；而且计算机科学的发展，为斐波那契数列提供了新的应用场所。

3、验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数n，若n为偶数，则将其除以2；若n为奇数，则将其乘以3，然后再加1。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数1。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数n，把n经过有限次运算后，最终变成自然数1的全过程打印出来。

4、二分法求方程根

过程如下图：

第二题参考程序：

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return pow(3,x)-7*x-8;

}

void main()

{

//a,b分别存放区间下界及上界，c存放区间中点,fa,fb,fc分别存放对应各点函数值,jqd存放精确度

double a=0,b=8,c,fa,fb,fc,jqd=0.01;

int count=0;//统计迭代次数

fa=f(a);

fb=f(b);

if(fa*fb==0)

if(fa==0)

printf(\"方程根为：%f\\n\",a);

else

printf(\"方程根为：%f\\n\",b);

else

if(fa*fb>0)

printf(\"所给定的范围[%f,%f]内不能保证有实根\\n\",a,b);

else

{

while(b-a>jqd)

{

count++;

c=(a+b)/2;

fa=f(a);

fc=f(c);

if(fc==0)

{

b=c;

a=c;

}

else

if(fa*fc<0)

b=c;

else

a=c;

}

printf(\"方程根为：%f，迭代次数：%d次！\\n\",c,count);

}

}

5、阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用3分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内，45分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴2^20（2的20次方）个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序计算。

五、实验要求：

1、写出所有的程序，填在后面，不够加附页。

2、总结设计使用函数时的注意事项。

3、记录上机过程中所出现的相关英文信息如菜单项名称、错误提示等，查出其中文含义，并写在实验报告后面。