范数

从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢？矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。

范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知：

由矩阵算子范数的定义形式可知，矩阵A把向量x映射成向量Ax，取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量Ax范数最大值作为矩阵A的范数，即矩阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知，矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范数对应一个取到向量Ax范数最大时的向量x方向，谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解SVD，分解成左右各一个酉阵，和拟对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于1。此外，不同的矩阵范数是等价的。

范数理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。

 

 

 

p范数：║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}1范数就是绝对值的和

 

范数就是向量的模。这是线性代数里出现的定义。

 

就是我们常说的2范数，L2范数
对于一个三维向量X=（x1,x2,x3）
欧氏范数 ||X||=[(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2]^(1/2)

 

欧几里德空间，则是在上再添加一些内容：欧几里德结构。为了做欧氏几何，人们希望能讨论两点两点间的距离，直线或向量间的夹角。一个自然的方法是在上，对任意两个向量、，引入它们的“标准内积”（一些文献上称为点积，记为）： 也就是说，中的任意两个向量对应着一个非负实数值。 我们把及这样定义的内积，称为上的欧几里德结构；此时的也被称为n维欧几里德空间，内积"<,>"称为欧氏内积。利用这个内积，可以建立距离、长度、角度等概念：向量的长度： 这里的长度函数满足范数所需的性质，故又称为上的“欧氏范数“！。