对java中的浮点数表示的理解

浮点数 分为三部分表示，一是符号sign，用s表示，二是指数e，三是底数m。

对于一个32bit的数字，

第31位代表s位，第30-23位代表e，后面第22-0位代表m。

××××     ××××       ×  ×××     ××××     ××××     ××××    ××××     ××××

 

IEEE754的规定如下：

   int   s   =   ((bits   >>   31)   ==   0)   ?   1   :   -1;   
   int   e   =   ((bits   >>   23)   &   0xff);   
   int   m   =   (e   ==   0)   ?   
                                    (bits   &   0x7fffff)   <<   1   :   
                                    (bits   &   0x7fffff)   |   0x800000;   

 

我将其用我的语言表达一下：

 

    int s＝第31位为0？正数：负数；
int e＝第30-23位数字表达成十进制数－127（单精度(float)型的幂用加上127后用8位二进制数表示）；
float m＝（e！=0）？（1+（第22-第0位的二进制数表达为十进制数×2^(-23)）：
                                    （第22-第0位的二进制数表达为十进制数×2^(-23)<<1）:

 

问题1：当e!=0时，为什么要在m前面+1呢？实际上就是后23位前加入了“1.”，为了使得不同的二进制序列表达不同的意思，充分利用各个数字。则我们可能认为在后23位前加入了“0.”。

如果不加1，则0 000 0001 0 001 0000 0000 0000 0000 0000 表示（2^ -3）×2^2×2^(-127)；

和0 000 0001 1 010 0000 0000 0000 0000 0000 ：(2^ -2)×2^3 ×2^(-127)；表达同一个数字，

两个编码表达同一个数字，这就是浪费，为了避免浪费，就在前面+1，这样

0 000 0001 0 001 0000 0000 0000 0000 0000 表示（1+2^ -3）×2^2×2^(-127)；；

和0 000 0001 1 010 0000 0000 0000 0000 0000 表示(1+2^ -2)×2^3×2^(-127)；

于是，这两个编码所表达的数字就不一样了。

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问题二：当e＝0时，为什么前面不加“1.”了呢？如果前面还+1，那最小的正数就变成

0 000  0000 0 000 0000 0000 0000 0000 0000：为1×2^(-127)；感觉精度还不够精细，

另外，那样的话，0就没法表示了。所以，这个时候前面不加“1.”而加“0.”

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问题三：当e＝0时，前面加“0.”，这时计算m的时候为什么要左移一位呢？

这个个人认为是数字表达的连续，如果不左移一位，那我们在

0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111  不左移的话，表示为0.111……(23个1)×2^(-127)

0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 表达数字1×2^1×2^(-127)之间有缺口，处于这两个浮点数之间的浮点数无法用二进制编码表示。为了填补这个缺口，我们宁可牺牲点精度。于是按照IEEE754约定

0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111  表达浮点数1.111……（22个1，最后一个编码为0）×2^(127)；

与1×2^1×2^(-127)之间的差为2^(-23)×2^1×2^(-127)，这个就是浮点数的精度

2×2^(-150),也是能表达的最小的浮点数：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001。

于是，按照IEEE754那样表达浮点数，从理论上来说相对比较完善了。

希望大家看完之后，能受到点启发，加深对浮点数表示的理解。IEEE754是一个标准，制定标准的人自然考虑比较周全，他们那么表示自然有他们的理由，希望我的理解对了。