森德拉姆素数筛法

大家看看下面的这个对称矩阵：

4    7   10   13   16   19   22 ......

7    12  17   22   27   32   37 ......

10   17  24   31   38   45   52 ......

13   22  31   40   49   58   67 ......

16   27  38   49   60   71   82 ......

... ...

规律是显然的：第一行首项为4，公差为3；第二行公差为5，...

这个对称矩阵有什么用呢？

这就是森德拉姆（Sundaram，1934）素数筛法矩阵，如果一个自然数N

出现在矩阵当中，那么2*N+1是合数；相反，如果N不在表中出现，则

2*N+1肯定是素数！

这么神奇的矩阵，奥妙在哪里？

其实原理很简单！

让我们来分析一下：显然，矩阵的第i行、第j列的通项为

2(i-1)(j-1)+3(i-1)+3(j-1)+4

因此若N在表中的i行j列出现，则

2*N+1=2（2(i-1)(j-1)+3(i-1)+3(j-1)+4）+1

=(2(i-1)+3)(2(j-1)+3)

显然是一个合数。

假设2*N+1是合数，那么肯定存在奇数m,n满足2*N+1=m*n,并且

m>=3,n>=3, 那么，

N=(m*n-1)/2=((2*((m-3)/2)+3)(2*((n-3)/2)+3)-1)/2

根据通项公式，N应该出现在矩阵的(m-3)/2+1行，(n-3)/2+1列。

因此若N在表中不出现，则2*N+1必为素数！

不足吗？还是有的！

第一个素数2不知给筛到哪里去了。

看来十全十美的东西很少啊！