Project Euler problem 12

就是问前多少项的和的因子个数大于500

输出这个和

最裸的想法就是枚举n，算出前n项和的因子个数

注意算一个数x的因子个数可以在sqrt(x)时间内算出来

但是前n项和是n^2级别的所以。

这样算出来还是 n^2复杂度的。

其实可以进行优化。

由于我们已经知道前n项和是 n * (n + 1) /2

而n和(n + 1)必然有一个偶数

那么前n个数的和必然能表示成两个数的乘积 分别设为x, y

分奇偶讨论一下就知道这两个数是啥了

然后呢有个结论。

一个数，能表示成若干素数p1,p2,p3....的若干次方x1,x2,x3..的乘积

a = p1 ^ x1 * p2 ^ x2 * p3 ^ x3 ......

那么因子个数就是(x1 + 1) * (x2 + 1) * (x3 + 1) * ........

这还是比较好理解的。

那么直接分解这两个数的素因子好了。然后前n项和的素因子各有多少次方也就算出来了

最后优化成 n * sqrt(n)级别的。

其实吧n和 (n + 1) 他俩是必然互素的。

那么x, y那俩数也是互素

然后求因子这个东西是个积性函数。

所以分别求出因子个数直接乘就行了。

刚开始我不知道范围是多少  直接筛了个500W的素数上去

不过算出来一看还是比较小的。 但是如果按1S的标准来算。 O(n^2)的算法还是够呛的。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>#include <set>#include <stack>#include <cmath>#include <map>#include <ctime>#define MAXN 111111#define INF 100000007using namespace std;bool tag[5000001];int p[1000001];int cnt;void get_prime() //筛出5000000内素数{    cnt = 0;    tag[1] = 1;    for (int i = 2; i < 5000000; i++)    {        if (!tag[i])        p[cnt++] = i;        for (int j = 0; j < cnt && p[j] * i < 5000000; j++)        {            tag[i*p[j]] = 1;            if (i % p[j] == 0)            break;        }    }}map<int, int>mp;void gao(int x){    for(int i = 0; i < cnt && p[i] * p[i] <= x; i++)    {        if(x % p[i] == 0)        {            int tmp = 0;            while(x % p[i] == 0)                x /= p[i], tmp++;            mp[p[i]] += tmp;        }    }    if(x != 1) mp[x]++;}int get(){    map<int, int>::iterator it;    int ans = 1;    for(it = mp.begin(); it != mp.end(); it++)        ans = ans * (it -> second + 1);    return ans;}int main(){    get_prime();    for(int i = 2; ; i++)    {        mp.clear();        int n = i;        int m = n + 1;        if(n % 2 == 0) n /= 2;        if(m % 2 == 0) m /= 2;        gao(n);        gao(m);        if(get() > 500)        {            printf("%d\n", n * m);            break;        }    }    return 0;}