算法导论-7-6 对区间的模糊排序

《算法导论》chapter7 problem7-6对区间的模糊排序

  考虑这样一种排序问题,即无法准确的知道等排序的各个数字到底是多大.对于其中的每个数字,我们只知道它落在实轴上的某个区间内.亦即,给定的 n 个形如[ai, bi ]的闭区间,其中ai,≤bi .算法的目标是对这些区间进行模糊排序(fuzzy-sort),亦即,产生各区间的一个排序<i1, i2, i3, i4,…in >,使得存在一个 cj ∈[ai, bi ],满足c1≤c2≤…≤cn .

  a)为n个区间的模糊排序设计一个算法,你的算法应该具有算法的一般结构,它可以快速排序左部端点(即各ai ),也要能充分利用重叠区间来改善运行时间.(随着各区间重叠得越来越多,对各区间的排序的问题会变得越来越容易,你的算法应该能充分利用这种重叠.)

  b)证明: 在一般情况下,你的算法的区望运行时间为 O(n*lgn),但当所有的区间都重叠时,期望的运行时间为O(n) (亦即,当存在一个值 x, 使得对所有的 i, 都有x∈[ai, bi ] ).你的算法不应显式的检查这种情况,而是应当随着重叠量的增加,性能自然地有所改善.

    解答

   a.  算法思想基本是仿快速排序对区间进行排序。难点在于如何充分利用重叠区间来改善运行时间？其关键在于Partion()的设计。

   对于如何充分利用重叠区间，解决思路是在调用Partion()划分时，区间如果重叠的部分，就把它们看做是相等的，并提取公共部分继续划分。即对于区间[ai,bi]，[aj,bj],它们大小分为三种情况。

   if(bi<aj)那么[ai,bi]<[aj,bj]

   else if(bj<ai)那么[aj,bj]<[ai,bi]

   else [ai,bi]=[aj,bj]。

   网上其它人的解答，思路都是类似的，不过看了几个版本，不少人在代码实现上多少有点bug。一个易错的地方是在判定两个区间相等的情况后，要提取它们公共区域继续划分。另一个错误有点难描述，以下面的代码为例，在else if(interArr[k].a>midInterval.b){}里面，没有加上“k--”这一行代码。至于什么要加一行代码，因为在interArr[k]比基准midInterval大而需要Exchange时，和interArr[j]交换时，interArr[j]也可能比基准midInter大的。我们如果不k--,那么就会直接跳过去了。这样说如果有点模糊的话，可以拿下面数据模拟一次就明白了。

28508 31359

4712 30466

23267 30245

7134 8098

25400 26351

8079 29052

31163 31738

6346 24352

#include <iostream>#include <ctime>using namespace std;struct IntervalType{    int a;    int b;};void Exchange(IntervalType interArry[],int i,int j){    IntervalType tmpInterval=interArry[i];    interArry[i]=interArry[j];    interArry[j]=tmpInterval;}//将区间[oBeg,oEnd]以某区间为基准，分成[oBeg,preEnd]<[preEnd+1,postBeg-1]<[postBeg,oEnd]三个区间void Partition(IntervalType interArr[],int oBeg,int oEnd,int &preEnd,int &postBeg){   IntervalType midInterval=interArr[oEnd];   int i=oBeg-1;    int j=oEnd+1;    for(int k=oBeg;k<j&&k<oEnd;k++)    {        if(interArr[k].b<midInterval.a)//区间k比基准区间小        {            i++;            Exchange(interArr,k,i);        }        else if(interArr[k].a>midInterval.b)//区间k比基准区间大        {            j--;            Exchange(interArr,k,j);            k--;        }        else//两个区间有重叠，视作相等，取它们重叠的部分作为基准区间继续划分       {            midInterval.a=max(midInterval.a,interArr[k].a);           midInterval.b=min(midInterval.b,interArr[k].b);        }    }    preEnd=i;    postBeg=j;}void IntervalQuickSort(IntervalType interArr[],int iBeg,int iEnd){    if(iBeg>=iEnd)return;    int preEnd,postBeg;    //将区间[iBeg,iEnd]以某区间为基准，分成[iBeg,preEnd]<[preEnd+1,postBeg-1]< [postBeg,iEnd]三个区间    Partition(interArr,iBeg,iEnd,preEnd,postBeg);    IntervalQuickSort(interArr,iBeg,preEnd);    IntervalQuickSort(interArr,postBeg,iEnd);}