弱校的奋斗之计算几何之旅（1）——向量的引入

接触ACM大概有一年了，这一年来，学习了不少算法，但是，像我们这种弱校，教练是挂名的，算法都是师兄们一代又一代流传下来的，基本上师兄们会什么算法，就教我们什么算法了。我记得我高中的数学老师说过：“你们要超越老师，不然一代又一代传下去，会一直衰落的。”我们师兄流传下来的算法基本上都是图论，数据结构。而数论、几何这些方面存在着一个很大的缺口，每次遇到这类型的题目也只能望而生畏了。于是我决定要向这些方向进军，尝试找到新的突破。即使是弱校，也不能阻止我们热爱ACM。

计算几何

我看了算法导论和lrj的黑书，虽然黑书上有些地方暂时还没看懂，但是还算略有小成。

 

1、点、线段的表示：

点的坐标表示我么很容易想到用结构体：

typedef struct _point{int x,y;}Point;

而线段，我们可以用两个点表示。

 

2、如何判断两条直线、线段是否相交：

用高中解析几何的知识我们很容易想到判断两条直线是否相交，只需要用求出两条直线的斜率，判断斜率是否相等就行了。如果是线段，只需要求出两直线交点，判断是否在两条线段两端点之间就行。然而，实际上由于在求斜率和交点时浮点型的数值运算需要考虑精度问题，而且不能体现算法的美。

在计算几何中，我们常常将问题转化为向量的关系。

假设向量a=（x1,y1），向量b=（x2,y2），只需要判断x1*y2-x2*y1是否等于0就可以判断两直线是否相交了。

但是对于线段，我们要怎样判断是否相交呢？

我们先在这里引入“向量的左右”这一个概念。如下图1，假设我们咱在向量p0p1的起点p0，面向p0p1向量的正方向，走手边即左侧，右手边为右侧。

位于向量逆时针方向的向量，我们称之为“右手螺旋”，如上图2，反之成为“左手螺旋”，如上图3。

我们在判断两线段是否相交时，只需要判断两向量是否相互“跨越”对方。所谓跨越，即一个向量的两个端点分别位于另一个向量的左右手方向。如下图：

图4中，两向量并没有相互“跨越”，因为p0和p1同时在向量p2p3的右侧。图5中，两向量互相“跨越”了对方，所以我们就可以说线段p0p1和线段p2p3相交了。

 

3、点积和叉积：

但是，我们该如何表示点在向量的左右方向呢？

这是我们介绍一个在计算几何里很重要的运算：点积和叉积。

回忆高中所学的知识，假设p0为（0,0），我们知道p1Xp2是（0,0），p1，p2和p1+p2所形成的平行四边形的有面积，注意这里的是“有向面积”，如下图阴影部分。

p1Xp2 = x1y2 - x2y1 = |p1|*|p2|*sinθ

如果p1Xp2为正数，那么相对于（0,0），p2位于p1的右手螺旋方向，如果p1Xp2为负数，那么p2位于p1的左手螺旋方向。于是我们运用叉积，就能判断点在向量的左右方向了。

int cross (Point p0,Point p1,Point p2){//求p0p1和p0p2的叉积    return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);}

现在我们来考虑特殊情况：

假设向量中的一个点在另一条向量上，如上图7，此时，p0p1Xp0p2=0，此时该如何判断呢？很容易能想到只要用坐标判断p2是否在p0和p1之间就行。另外，我们还有另一种方法，用向量的点积能判断。

向量p1·p2 = |p1|*|p2|*cosθ，如下图：

只需要判断向量p2p0和p2p1的点积就能判断点是否在线段上。当点积小于0，表示p2在线段p0p1上，当点积大于0，表示不在线段上。