Python素数筛选法

原理：

　　素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。在加密应用中起重要的位置，比如广为人知的RSA算法中，就是基于大整数的因式分解难题，寻找两个超大的素数然后相乘作为密钥的。一个比较常见的求素数的办法是埃拉托斯特尼筛法(the Sieve of Eratosthenes) ，说简单一点就是画表格，然后删表格，如图所示：

　　从2开始依次往后面数，如果当前数字一个素数，那么就将所有其倍数的数从表中删除或者标记，然后最终得到所有的素数。

有一个优化：

标记2和3的倍数的时候，6被标记了两次。所以从i的平方开始标记，减少很多时间。

比如3的倍数从9开始标记，而不是6，并且每次加6。

除了2以外，所有素数都是奇数。奇数的平方还是奇数，如果再加上奇数就变成了偶数一定不会是素数，所以加偶数(2倍素数)。

预先处理了所有偶数。

注意：1既不是素数也不是合数，这里没有处理1。

 

#! prime.pyimport timedef primes(n):  P = []  f = []  for i in range(n+1):    if i > 2 and i%2 == 0:      f.append(1)    else:      f.append(0)  i = 3  while i*i <= n:    if f[i] == 0:      j = i*i      while j <= n:        f[j] = 1        j += i+i    i += 2  P.append(2)  for i in range(3,n,2):    if f[i] == 0:      P.append(i)  return Pdef isPrime(n):  if n > 2 and n%2 == 0:    return 0  i = 3  while i*i <= n:    if n%i == 0:      return 0    i += 2  return 1def primeCnt(n):  cnt = 0  for i in range(2,n):    if isPrime(i):      cnt += 1  return cntif __name__ == '__main__':  start = time.clock()  n = 10000000  P = primes(n);  print("There are %d primes less than %d"%(len(P),n))  #for i in range(10):  #  print(P[i])  print("Time: %f"%(time.clock()-start))  #for n in range(2,100000):  #  if isPrime(n):  #    print("%d is prime"%n)    #print("%d is "%n + ("prime" if isPrime(n) else "not prime"))  start = time.clock()  n = 1000000  print("There are %d primes less than %d"%(primeCnt(n),n))  print("Time: %f"%(time.clock()-start)

用素数筛选法求1千万以内的素数用了5.767s，

普通素数判断法求1百万以内的素数用了9.642s，

用C++素数筛选法求1亿以内的素数用了0.948s，

用C++普通素数判断法求1千万以内的素数用了3.965s，

可见解释语言确实比编译语言慢很多。

附C++程序，用了位压缩优化空间

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;#define N 100000001unsigned f[(N>>5)+5];int p[5761456],m;void init(){int i,j;for(i=4;i<N;i+=2)f[i>>5]|=1<<(i&0x1F);p[m++]=2;for(i=3;i*i<N;i+=2)if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F)))){p[m++]=i;for(j=i*i;j<N;j+=i+i)f[j>>5]|=1<<(j&0x1F);}for(;i<N;i+=2)if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))p[m++]=i;}int is_prime(int n){int i;for(i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)if(n%p[i]==0)return 0;return 1;}int isPrime(int n){if(n>2 && n%2==0)return 0;int i=3;while(i*i<=n){if(n%i==0)return 0;i+=2;}return 1;}int main(){int n=0,i;clock_t st=clock();init();/*for(i=2;i<10000000;i++)if(isPrime(i))n++;*/printf("%d %dms\n",m,clock()-st);/*while(~scanf("%d",&n),n){i=lower_bound(p,p+m,n+1)-p;printf("%d\n",i);}*/    return 0;}