图论 最短路径floyd

（终于想到了办法去证明floyd算法实现的正确性，见程序后）

floyd算法的目的：求出图中任一节点到任一节点的最短路径。

floyd 算法的基本思想是：s[i][j] = s[i][k] + s[k][j] （s[i][j]表示从节点i到节点j的最短路径），然后通过变换不同的K值，来实现求出节点i到节点j的最短路径。

具体实现如下：   

//size 为图的节点个数void floyd(int size){    int i,j,k;//graph 为图的存储矩阵//s[i][j]为图中从节点i到节点j的最短距离//path[i][j] 为从节点i到节点j的最短路径上,紧挨j节点的上一个节点//可通过path[i][j]打印出各个最短路径所经过的节点    for(i=0;i<size;i++)    {        for(j=0;j<size;j++)        {//初始化s            s[i][j]=graph[i][j];//s[i][j]==INF 表示不能到达，则path[i][j]=-1//否则path[i][j]=i             if (s[i][j]!=INF)            {path[i][j]=i;            }else{path[i][j]=-1;}        }    }    for(k=0;k<size;k++)    {        for(i=0;i<size;i++)        {            for(j=0;j<size;j++)            {                int temp=s[i][k]+s[k][j];//如果同过k可以缩短路径长度，则更新s[i][j]和path[i][j]                if(temp<s[i][j])                {                    s[i][j]=temp;                    path[i][j]=path[k][j];                }            }        }    }}

算法正确性证明：

1. 直连路径若为最短路径，则在s矩阵初始化后就不会改变。
2. 当k=0时，程序会计算出从节点i到节点j，最多只经过一个中间节点，即0节点，的全部的最短路径，以后的计算k=1时，以此为基础。（s矩阵的变化以初始值为基础）
3. 当k=1时，程序会计算出从节点i到节点j，最多只经过两个节点，即0节点和1节，点的全部的最短路径，以后的计算k=2时，以此为基础。（s矩阵的变化以k=1计算出的值为基础）
4. …………………………
5. k=size-1时，程序会计算出从节点i到节点j，最多只经过0、1、……、size-1节点，即全部节点，的最短路径。（s矩阵的变化以k=n-1计算出的值为基础）
6. 证毕。