扩展欧几里得算法是干什么用的？

扩展欧几里得算法（又称扩充欧几里得算法）是用来解某一类特定的不定方程的。讲解清楚需要好些预备知识，各位读者不能着急。我是花了半天时间来理解它。

不定方程

不定方程是以x,y为变量，形如ax+by=c，且a,b,x,y,c都为整数的一类方程。例如4x+5y=13，以不定方程来解，得x=-13, y=13。不定方程这个名词多见于小学中学，它还有个名词叫丢番图方程，这个名称似乎在学术界更为多见。

因子

表示a是b的因子，b是a的倍数。

不定方程有整数解

ax+by=c有整数解，当且仅当gcd(a,b)|c。详情见维基百科的贝祖定理条目。

例如，5x+14y=35有没有整数解呢？

贝祖定理告诉我们有！因为gcd(5,14)=1|35。

Mathematica告诉我们x=7, y=0。（你也可以手算。）

两个不定方程（扩展欧几里得算法作用之处）

定理：若ax+by=g，（g=gcd(a,b)，即g是a,b的最大公约数）有整数解；则ax+by=c（c是g的倍数）有整数解。读者可以测试、证明一下。

设ExtendedGCD为扩展欧几里得算法，它接受两个整数a,b，返回两个整数x,y。

若有ax+by=gcd(a,b)，则ExtendedGCD(a,b)可求x,y。

练习1

现在练习一下，使用ExtendedGCD，求6x+10y=2的整数解。

发现gcd(6,10)=2，2是6和10的最大公约数，于是求6x+10y=2的整数解可以用扩展欧几里得算法求。

以Mathematica代码为例：

所以x=2, y=-1。6×2+10×-1=12-10=2。

练习2

求9x+8y=2的整数解。

发现gcd(9,8)=1≠2，不能直接用扩展欧几里得算法。

根据上面所说的定理，先求9x+8y=gcd(9,8)的整数解。

所以9×1+8×-1=gcd(9,8)=1。

根据定理，ax+by=c有整数解，所以9x+8y=2有整数解。

用来求模反元素

求a关于模n的模反元素（a<n）。egcd(a,n)={g,x,y}。若g=1，则该模反元素存在，为x；若g不等于1，则该模反元素不存在。注意，余数可以为负数的，相见维基百科。如果x为负，人们喜欢把它“正过来”，即再加上n。

练习

求540关于1769的模反元素。借助Mathematica的ExtendedGCD函数，得该模反元素为1769-95=1674。

容易验证540*1674 mod 1769=1。

求5关于17的模反元素。

In:= ExtendedGCD[5,17]

Out:= {1, {7, -2}}

答案为7。（不用加上n了）

希望对读者有帮助。

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作者爱让一切都对了