程序员面试题精选100题(37)-寻找丑数

程序员面试题精选100题(37)-寻找丑数

题目：我们把只包含因子

2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。

分析：这是一道在网络上广为流传的面试题，据说google曾经采用过这道题。

所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是n % m == 0。根据丑数的定义，丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数如果它能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以连续5。如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。

基于上述方法的程序为：

#include<iostream>
using namespace std;
//下面是判断是否为丑数
bool isUgly(int number)
{
  while(number%2==0)
 number/=2;
  while(number%3==0)
 number/=3;
  while(number%5==0)
 number/=5;
  return (number==1)?true:false;
}

//按照顺序判断每一个整数是否为丑数
int GetUglyNumber(int index)
{
  if(index<=0)
 return 0;
  int number=0;
  int uglyFound=0;
  while(uglyFound<index)
  {
    ++number;
if(isUgly(number))
{
 ++uglyFound;
}
  }
  return number;
}
int main()
{
  cout<<GetUglyNumber(1500)<<endl;
  return 0;
}

我们只需要在函数GetUglyNumber中传入参数1500，就能得到第1500个丑数。该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题我们每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高。

改进的方法：（以空间换时间）

接下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M₂。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么下一个丑数应该是M₂、M₃和M₅三个数的最小者。

前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T₂，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T₂。对乘以3和5而言，存在着同样的T₃和T₅。

基于上述方法的代码为：

#include<iostream>

using namespace std;

int Min(int number1,int number2,int number3);

int GetUglyNumber(int index)
{
  if(index<=0)
  return 0;
  int *pUglyNumbers=new int[index];
  pUglyNumbers[0]=1;
  int nextUglyIndex=1;
  int *pMultiply2=pUglyNumbers;
  int *pMultiply3=pUglyNumbers;
  int *pMultiply5=pUglyNumbers;
  while(nextUglyIndex<index)
  {
    int min=Min(*pMultiply2*2,*pMultiply3*3,*pMultiply5*5);
    pUglyNumbers[nextUglyIndex]=min;
    
while(*pMultiply2*2<=pUglyNumbers[nextUglyIndex])
++pMultiply2;
while(*pMultiply3*3<=pUglyNumbers[nextUglyIndex])
++pMultiply3;
while(*pMultiply5*5<=pUglyNumbers[nextUglyIndex])
++pMultiply5;
++nextUglyIndex;
  }
  int ugly=pUglyNumbers[nextUglyIndex-1];
  delete[] pUglyNumbers;
  pUglyNumbers=NULL;
  return ugly;
}

int Min(int number1,int number2,int number3)
{
int min=(number1<number2)?number1:number2;
min=(number3<min)?number3:min;
return min;
}

int main(void)
{
  int number=1500;
  GetUglyNumber(number);
  system("pause");
  return 0;
}

参考来源：《剑指offer名企面试官精讲典型编程题》——何海涛