漫谈高数(十) 国际象棋的车和象---从数论到代数

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        能否用数学来表达和解释这个问题，对于国际象棋而言：
1. 车的走动，两个方向，夹角90度。可以走遍所有的格子。
2. 象的走动，两个方向，夹角90度，但是永远只能走同色的格子。
        为什么? 我们用几种不同的方法来证明。

1. 用数论的方法,小学程度就能理解。考虑不变量。设象的走棋变化量(offset)的横纵坐标为(x, y)，考虑x+y。象的走法，x+y的奇偶性是不变的。要么走不了偶数位置，要么走不了奇数位置。而棋盘上面相邻点，奇偶性是有不变的也有变化的，所以象走不全。
        这个证法不严格。什么是"相邻"就没有严格的定义和形式化的表述，而是采用了欧式几何的直观想象和描述，充满了含糊不清的"必然""显然"这样的概念。本 身也没有先验的证明"白格的坐标和都是奇数""黑格的坐标和都是偶数"这样的引理(不采用集合论的观点用自然语言是无法证明的，因为涉及到一个无穷的列举 问题)，而是认为这个不需要证明显然成立(绕过去了)。过程本身缺少形式化的严密性。

 

2. 用矩阵和线性变换的思想(中学水平完全可以学习和理解矩阵理论)。假设我起始坐标是(x1,y1)，终点是(x2,y2)，车的走动就是一个线性变换 ([x,0],[0,y])，象的走动是线性变换([x,x],[y,-y])，其中x/y都是整数。我们把x1/y1映射成x2/y2，就是看方程组有 没有解。显然，车的转移矩阵|A|!=0所以有解，因为x/y的任意性，车可以走遍所有的格子。而象的映射矩阵|A|=0，那么根据扩展矩阵的秩，它可能 有解，也可能没有解。所以存在一些格子是象走不到的。证明完了，但是有一个遗憾，不能证明象能走到的格子一定是车的一半，而且不能证明颜色格的不可跨越 性。

 

3. 群论----这个是大学水平了。2维平面上，Z*Z 是一个加群(取值离散，整数)，子集{(1, 0),(0, 1)}是能生成整个群，但是{(1, 1),(-1, 1)}只能生成两个分量奇偶相同的元素。问题的表述和证明得到的严格的形式化，结论客观，完整，简洁，远超上面两种方法。

        什么是空间? 扔开具体的物理3维空间考察数学的概念，空间就是一个集合，同时满足限制条件：集合每个元素都恰好有n个属性，而且这n个属性顺序不能颠倒，n个属性相同 的元素必然相等(只有一个)。于是，一个集合，每个元素都有3个属性，就叫做一个数学上的3维空间(注意，比物理的定义更广义)。
        集合论是数学的基本理论。数学分析的时候讨论收敛，"在xxxx的邻域内"，这个邻域的结构是拿来就用的，并没有给出过严格定义，我们只是通过欧式几何式的直观想象认为显然应该存在这么一个东西----直到拓扑结构才给出了邻域的严格定义。
        几何的根本问题是度量，这个词语本身中文和外文的词根都是来自丈量土地。丈量的根本前提是距离的度量。如果被度量是表面是一个平面，那么就是经典的欧式几 何；如果是一个大范围的度量，例如地球的航海度量；或者宇宙空间中受到引力的空间，其平面都从一个无限的平直表面坍缩成了一个椭球面(物理规律受引力作用 不再是直线的作用)，于是有了黎曼几何。在微观世界，量子的不可测性把平面分裂成了对称的两个双曲面，于是有了罗氏几何。他们都是数学模型，都是为了精确 的度量物理存在。几何和物理是密不可分的。
        那么又怎么度量呢? 这是个人为的标准，距离不是客观存在的，距离是对客体观测后得到的概念。我们把度量的过程看成一个函数映射(泛函的方法寻找函数)，那么考虑使用一个叫 做"范数"的概念来表达这种度量。曼哈顿距离是1范数，欧式直线距离时二范数，还有N范数各自代表不同的意义。这个范数是为了满足某些我们想要的性质而人 为构造出来的，是向量空间向标量空间的一个映射(数和量的统一，几何到代数的映射)。当我们找到了这样的一个函数的时候，我们就叫N范数，用双直 线||x||表示。如果一个向量空间上面的元素/关系都能被这个范数映射到标量空间中，我们就把这个向量空间叫做赋范空间----也就是这个空间的元素， 存在某种可以度量的属性，具有广义的几何意义。一个N维的矢量空间加上一个内积的定义就是一个N维赋范空间。
        群又是什么? 空间中的某个元素可以通过其他元素的组合和变换来得到，是线性相关的集合的集合，表达的是一种属性之间的关系。国际象棋8x8棋盘上，每个格子的坐标就构 成了一个群，这个群的最小化子集合是{(1,0),(0,1)}，通过最小化的子集合的运算(分型)我们可以得到整个群，而矩阵则是这种分型的几何过程的 描述。
        集合是一个基本概念(http://www.douban.com/group/topic/5308346)，在这个概念的基础上加条件，做演绎，就得 到了N多的引申概念和知识。公理体系的建立总是在一些非常基本的概念的属性的基础上得来的，这个从欧式几何就开始了。虽然东方的数学很多具体的知识和结论 的获得，都早于西欧，但是公理化体系的形成，形式化的描述，定理的推理和演绎，从来都没有真正的形成过，直到明代的李光启翻译几何原本的时候才感叹西人的 高明不在于结论和知识的高超，而是思维和逻辑体系的缜密，问题边界的划分，公论的提出，演绎的严格。
        眼光放的尺度大一点，欧式的神学，哲学，数学，其他的科学和学问，无不是建立在公理系统和演绎之上的。一切的法律须从宪法，所有的定理须从公理，必须从一 个树根去分型得到整个大树----这样整体和部分才能和谐和没有矛盾；x86的架构的学习不是学Pentium，酷锐，而是从树根8086学起；新的功能 的添加保持后向兼容，也就是保持树根不变的情况下继续分型，而不是推倒了重新种一棵大树。公理系统的稳定性，在于公设的强壮性。如果公设可能被轻易推倒， 那么整个大厦将倾。儒学如果也是一个公理系统的话，那么它的公设基本就是三字经的第一句话"人之初，性本善"。很可惜，到底什么是"人"都没有定义清楚 (柏拉图认识到了这是社会学研究的根本问题和出发点)，什么是"善恶"都没有定义清楚(到底是一种客观标准还是主观标准)，便开始了四书五经洋洋洒洒的演 绎和推论，这套理论是不是像在沙滩上面建房子。