《算法导论》CLRS算法C++实现（十二）P208 最长公共子序列LCS

 

 

给定两个序列X和Y，如果Z既是X的一个子序列又是Y的一个子序列，则称序列Z是X和Y的一个公共子序列。

 

在最长公共子序列问题（LCS）中，给定了两个序列X=<x₁，x₂，…，x_m>和Y=<y₁，y₂，…，y_n>，希望找出X和Y的最大长度的公共子序列。最直观且容易想到的方法是枚举出X的所有子序列，然后逐一检查看其是否为Y的子序列，并随时记录所发现的最长子序列。这种方法的时间复杂度是指数级的，对于较长的序列来说是不实际的。

 

LCS问题的最优子结构：

 

若x_m=y_n，则z_k=x_m=yn且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列；
若x_m≠y_n且z_k≠x_m ，则Z是X_m-1和Y的最长公共子序列；
若x_m≠y_n且z_k≠y_n ，则Z是X和Y_n-1的最长公共子序列。

算法：LCS-LENGTH(X, Y)

 1  2 m ← length[X] 3 n ← length[Y] 4 for i ← 1 to m 5       do c[i, 0] ← 0 6 for j ← 0 to n 7     do c[0, j] ← 0 8 for i ← 1 to m 9     do for j ← 1 to n10             do if xi = yj11                    then c[i, j] ← c[i - 1, j - 1] + 112                         b[i, j] ← "↖"13                    else if c[i - 1, j] ≥ c[i, j - 1]14                           then c[i, j] ← c[i - 1, j]15                                b[i, j] ← "↑"16                           else c[i, j] ← c[i, j - 1]17                                b[i, j] ← ←18 return c and b

C++实现：

  1 #include <iostream>  2 #include <stdio.h>  3 #include <string.h>  4   5 using namespace std;  6   7 enum  8 dir {dInit = 0, dLeft, dUp, dUpLeft};//定义方向初始化值dInit，三个方向左dLeft、上dUp、左上dUpLeft  9  10 void LCSPrint(int **LCS_direction, const char* la, const char* lb, int row, int col) 11 { 12     if (la == NULL || lb == NULL) 13         return; 14  15     int lengthA = strlen(la); 16     int lengthB = strlen(lb); 17  18     if (lengthA ==0 || lengthB == 0 || !(row < lengthA && col < lengthB)) 19         return; 20  21     if (LCS_direction[row][col] == dUpLeft) 22     { 23         if (row > 0 && col > 0) 24             LCSPrint(LCS_direction, la, lb, row - 1, col - 1); 25  26         printf("%c", la[row]); 27     } 28     else if (LCS_direction[row][col] == dUp) 29     { 30         if (row > 0) 31             LCSPrint(LCS_direction, la, lb, row - 1, col); 32     } 33     else if(LCS_direction[row][col] == dLeft) 34     { 35         if (col > 0) 36             LCSPrint(LCS_direction, la, lb, row, col - 1); 37     } 38 } 39  40 int 41 LCSLength(const char *la, const char *lb) 42 { 43     if (!la || !lb) 44         return 0; 45  46     int lengthA = strlen(la); 47     int lengthB = strlen(lb); 48  49     if (!lengthA || !lengthB) 50         return 0; 51  52     int i, j; 53  54     //创建并初始化存放长度的二维数组 55     int **LCS_length; 56     LCS_length = (int**)(new int[lengthA]); 57     for (i = 0; i < lengthA; ++i) 58         LCS_length[i] = (int*)new int[lengthB]; 59  60     for (i = 0; i < lengthA; ++i) 61         for (j = 0; j < lengthB; ++j) 62             LCS_length[i][j] = 0; 63  64     //创建并初始化存放方向的二维数组，方向在枚举enum dir中定义 65     int **LCS_direction; 66     LCS_direction = (int**)(new int[lengthA]); 67     for (i = 0; i < lengthA; ++i) 68         LCS_direction[i] = (int*)new int[lengthB]; 69  70     for (i = 0; i < lengthA; ++i) 71         for (j = 0; j < lengthB; ++j) 72             LCS_direction[i][j] = dInit; 73  74     for (i = 0; i < lengthA; ++i) 75     { 76         for (j = 0; j < lengthB; ++j) 77         { 78             if (i == 0 || j == 0) 79             { 80                 if (la[i] == lb[j]) 81                 { 82                     LCS_length[i][j] = 1; 83                     LCS_direction[i][j] = dUpLeft; 84                 } 85                 else 86                 { 87                     if (i > 0) 88                     { 89                         //i > 0不是第一行 90                         LCS_length[i][j] = LCS_length[i - 1][j]; 91                         LCS_direction[i][j] = dUp; 92                     } 93                     if (j > 0) 94                     { 95                         //j > 0不是第一列 96                         LCS_length[i][j] = LCS_length[i][j - 1]; 97                         LCS_direction[i][j] = dLeft; 98                     } 99                 }100             }101 102             else if (la[i] == lb[j])103             {104                 LCS_length[i][j] = LCS_length[i - 1][j - 1] + 1;105                 LCS_direction[i][j] = dUpLeft;106             }107 108             else if (LCS_length[i - 1][j] > LCS_length[i][j - 1])109             {110                 LCS_length[i][j] = LCS_length[i - 1][j];111                 LCS_direction[i][j] = dUp;112             }113 114             else115             {116                 LCS_length[i][j] = LCS_length[i][j - 1];117                 LCS_direction[i][j] = dLeft;118             }119         }120     }121     LCSPrint(LCS_direction, la, lb, lengthA - 1, lengthB - 1);122     cout << endl;123     return LCS_length[lengthA - 1][lengthB - 1];124 }125 126 int main()127 {128     const char* la = "ABCBDAB";129     const char* lb = "BDCABA";130     int length = LCSLength(la, lb);131     cout << "最长子序列长度为：" << length << endl;132     return 0;133 }

Python实现：

 1 def LCS(la, lb): 2     if la == "" or lb == "": 3         return 4     lengthA = len(la) 5     lengthB = len(lb) 6     lcs = [[0] for i in range(0, lengthA + 1)] 7     lcs[0] = [0 for j in range(0, lengthB + 1)] 8     for i in range(lengthA): 9         for j in range(lengthB):10             lcs[i + 1].append(lcs[i][j] + 1 if la[i] == lb[j] else max(lcs[i][j + 1], lcs[i + 1][j]))11     i = lengthA - 112     j = lengthB - 113     lcsstr = ""14     while True:15         if i == -1 or j == -1:16             break17         if la[i] == lb[j]:18             lcsstr = "%s%s" % (la[i], lcsstr)19             i = i - 120             j = j - 121         else:22             if lcs[i][j + 1] > lcs[i + 1][j]:23                 i = i - 124             else:25                 j = j - 126     print lcsstr27     28 LCS("ABCBDAB", "BDCABA")