信号与系统11:连续,离散傅里叶变换与级数
来源:互联网 发布:学画画软件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/26 21:33
连续,离散的傅里叶变换与级数还是很混!
1.由于离散复指数的周期性,导致离散傅里叶变换是有周期的(2π)。而由于这个原因,导致了一系列的差别性,比如离散的相乘特性:时域上的乘积等于频域上的卷积(此时的卷积为周期卷积!)
2.相乘特性
时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例),离散信号有一点区别。
我们考虑如果在输入信号为a^t*u(t),频域上为1/[1-ae^(-jw)];
现在我们考虑在时域上乘以(-1)^t,相当于e^jnπ;
由于e^jnπ为周期信号,我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式,首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数(而离散信号的时候,为一连续脉冲,因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的,而连续的则没有这个性质);
最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带,而离散信号会不断搬移(但其实频谱为2π,4π,6π等等与0是一样的,所以低频是靠近π的偶数倍,高频靠近π的奇数倍)。
结论就是:时域上乘以(-1)^n(离散信号),频谱是搬移π个单位。(连续的为有限搬移)
也就是通过乘以(-1)^n,可以将低通滤波器变成高通滤波器。(比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器,脉冲响应为(-1)^n*h(t)的系统为高通滤波器)。
可以看看下面的例子
(1)a^n*u(n),0<a<1
此时的频谱为
(2)a^n*u(n),a<0
发现就是频谱搬移大约π个单位。(滤波器由低通变高通)。
这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。
另外,如果只有低通滤波器,如何让他有高通滤波器的功能呢?将输入信号乘以(-1)^n,频谱搬移将高频移到低频,低频移到高频,通过低通滤波器,实际上率除了低频信号,将输出来的信号再乘以(-1)^n,将高频信号转到高频的位置即可。
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