博弈论简介
来源:互联网 发布:深圳做seo哪家公司好 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 09:42
(一)巴什博奕(BashGame):只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
(二)威佐夫博奕(WythoffGame):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
局势。
(三)尼姆博奕(NimmGame):有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 (+)
———————
0 =二进制00 (注意不进位)
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a <b< c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果:a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去c-(a(+)b)即可。
火柴遊戲,亦可用牙籤來代替火柴玩遊戲。
一個最普通的火柴遊戲就是兩人一起玩,先置若干支火柴於桌上,兩人輪流取,每次所取
的數目可先作一些限制,規定取走最後一根火柴者獲勝。
規則一:若限制每次所取的火柴數目最少一根,最多三根,則如何玩才可致勝?
例如:桌面上有n=15根火柴,甲﹑乙兩人輪流取,甲先取,則甲應如何取才能致勝?
為了要取得最後一根,甲必須最後留下零根火柴給乙,故在最後一步之前的輪取中,甲不
能留下1根或2根或3根,否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根,則乙不能全取,則
不管乙取幾根(1或2或3),甲必能取得所有剩下的火柴而贏了遊戲。同理,若桌上留有8
根火柴讓乙去取,則無論乙如何取,甲都可使這一次輪取後留下4根火柴,最後也一定是甲
獲勝。由上之分析可知,甲只要使得桌面上的火柴數為4﹑8﹑12﹑16…等讓乙去取,則甲
必穩操勝券。因此若原先桌面上的火柴數為15,則甲應取3根。(∵15-3=12)若原先桌面
上的火柴數為18呢?則甲應先取2根(∵18-2=16)。
規則二:限制每次所取的火柴數目為1至4根,則又如何致勝?
原則:若甲先取,則甲每次取時,須留5的倍數的火柴給乙去取。
通則:有n支火柴,每次可取1至k支,則甲每次取後所留的火柴數目必須為k+1之倍數。
規則三:限制每次所取的火柴數目不是連續的數,而是一些不連續的數,如1﹑3﹑7,則又
該如何玩法?
分析:1﹑3﹑7均為奇數,由於目標為0,而0為偶數,所以先取者甲,須使桌上的火柴數為
偶數,因為乙在偶數的火柴數中,不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後獲得0,但假使如此也不
能保證甲必贏,因為甲對於火柴數的奇或偶,也是無法依照己意來控制的。因為〔偶-奇=
奇,奇-奇=偶〕,所以每次取後,桌上的火柴數奇偶相反。若開始時是奇數,如17,甲先
取,則不論甲取多少(1或3或7),剩下的便是偶數,乙隨後又把偶數變成奇數,甲又把奇
數回覆到偶數,最後甲是注定為贏家;反之,若開始時為偶數,則甲注定會輸。
通則:開局是奇數,先取者必勝;反之,若開局為偶數,則先取者會輸。
規則四:限制每次所取的火柴數是1或4(一個奇數,一個偶數)。
分析:如前規則二,若甲先取,則甲每次取時留5的倍數的火柴給乙去取,則甲必勝。此外
,若甲留給乙取的火柴數為5之倍數加2時,甲也可贏得遊戲,因為玩的時候可以控制每輪
所取的火柴數為5(若乙取1,甲則取4;若乙取4,則甲取1),最後剩下2根,那時乙只能
取1,甲便可取得最後一根而獲勝。
通則:若甲先取,則甲每次取時所留火柴數為5之倍數或5的倍數加2。
遊戲規則:
有一堆火柴兩人輪流取,先取的一方可任意取,後取的一方所取的火柴桿數不得超過對方
剛取火柴的2倍,規定取得最後一根者為勝。
設火柴數為n,甲先取,乙後取
當n=3:
若甲取1根剩2根,則乙全取──乙勝。
若甲取2根剩1根,則乙取最後1根──乙勝。
當n=5:
若甲取1根剩4根,則乙取1根剩3根換甲取,則乙必勝(如上n=3)。
若甲取2根剩3根,則乙全取──乙勝。
當n=8:
若甲取1根剩7根,則乙取2根剩5根讓甲取,則甲不利(如上n=5)──乙勝。
若甲取2根剩6根,則乙取1根剩5根如上,則對甲不利──乙勝。
若甲取3根剩5根,則乙可全取──乙勝。
若甲先取3根以上,情況如上──乙勝。
當n=13:
若甲取1根剩12根,則乙取1根剩11根,則
若甲接著取1根剩10根,則乙再取2根剩8根,對甲不利(如上)──故乙勝。
若甲接著取2根剩9根,則乙再取1根剩8根,對甲也不利(如上)──故乙勝。
(註:甲不得接著取超過2根,因為上一次乙取1根。)
若甲取2根剩11根,則乙取3根剩8根,對甲不利──乙勝。
若甲取3根剩10根,則乙取2根剩8根,情況對甲不利──乙勝。
若甲取4根剩9根,則乙取1根剩8根,同樣對甲不利──乙勝。
若甲取5根剩8根,則乙可全取──乙勝。
若甲取5根以上,情況如上──乙勝。
由以上的例子中我們可觀察到,當火柴數為3﹑5﹑8﹑13…等時,對先取者不利。又從上面
例子,當n=13時,發現當火柴數為12時,先取者只要是取1根,必能立於不敗之地。
事實上,此遊戲與著名的斐波南契數列有關,斐波南契數列係由13世紀初,義大利比薩的
數學家Leonardo Pisano(1170~1250)所提出,因其綽號為Fibonacci,故以其名之。斐
波南契在一本叫做算盤書(研究算術代數的書籍)中提出一個有趣的兔子問題:
Q:假設最先有一對兔子,二個月後就能生育一對兔子,初生的兔子二個月後便具有生殖能
力,假設每對成熟具有生殖能力的兔子,每個月均能生育一對兔子,問一年後共有多少對
兔子?(如假設兔子都不死)
假設Xn表n個月後兔子的對數,則X0=1,X1=1,X2=2,X3=3,X4=5,X5=8且Xn+2=Xn+1+Xn
,n 30,故一年後(即12個月後)共有X12=233
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