http://blog.sina.com.cn/s/blog_4d7d9b1601016kmn.html 中国剩余定理

中国剩余定理的全部内容　　这里所说的全部内容，是指轻松应对中国剩余定理的全部题型，而不是指中国剩余定理从古至今的全部演变过程。　　我们在此，把中国剩余定理说得清清楚楚，明明白白，方便教师教学，学生学习和理解。　　该定理说穿了，是不需要证明的，是因为，每一个剩余数的存在都是必然的，唯一的。理由如下：　　1、素数　　当A，B，C，D，…，H为不同的素数时，有：　　因它们为不同的素数，所以，它们之间是不能相互整除的。　　自然数除以A的余数分为0，1，2，3，…，A-1，共A种不同的选择，除以其它素因子的余数也是一样，分别为B，C，D，…，H种不同的选择。这些不同的余数按排列组合共为A*B*C*D*…*H种排列，即在除以素数A，B，C，D，…，H中各选择一个余数，为在A*B*C*D*…*H之内的一个具体的数，它们是一一对应的，必然存在的，所以，这是无需证明的。　　例，某数为M，M/3余1，M/5余3，M/7余2，M/11余5，求M＝？　　因为，M在3*5*7*11中是唯一的，所以，先计算除以哪一个素因子的余数，结果都是一样的，我们就采取计算唯一数的方法：　　（1）、满足除以11余5的数为等差数列5+11N，　　（2）、将5+11N取7项：5，16，27，38，49，60，71，只有16满足除以7余2，因11*7＝77，得新等差数列16+77N，　　（3）、将16+77N取5项：16，93，170，247，324，只有93除以5余3，因77*5＝385，得新等差数列93+385N，　　（4）、将93+385N取3项：93，478，863，得478为满足这些条件的数，因385*3＝1155，即478+1155N数列的所有项都满足这些条件。　　2、单合数　　如果，前面所列的素因子中，不包括素数P，S，D，那么，不论是P，S，D，还是P的N次方，S的K次方，D的Z次方都不能被A，B，C，D，…，H整除，那么，自然数除以P的N次方的余数同样有P的N次方个不同的选择，除以S的K次方的余数同样有S的K次方个不同的选择，除以D的Z次方的余数同样D的Z次方个不同的选择，同样按排列组合在A*B*C*D*…*H*（P的N次方）*（S的K次方）*（D的Z次方）内，对除以A，B，C，D，…，H，P的N次方，S的K次方，D的Z次方各选择一个余数，对应这之内的一个数，都是一一对应的，必然存在的。　　特别提醒：除以单合数的余数，不能化为除以单素数代替，因为，它不能代替。如某数除以8余4，只能用除以8余4，不能化为4/2，不能用除2余0代替。　　例，某数为M，M/8余5，M/3余2，M/5余4，M/7余3，求M＝？　　因为，M在8*3*5*7＝840中是唯一的，同样采取计算唯一数的方法：　　（1）、满足除以8余5的数为等差数列5+8N，　　（2）、将5+8N取7项：5，13，21，29，37，45，53，只有45满足除以7余3，因8*7＝56，得新的等差数列45+56N，　　（3）、将45+56N取5项：45，101，157，213，269，只有269满足除以5余4，因56*5＝280，得新的等差数列269+280N，　　（4）、将269+280N取3项：269，549，829，只有269满足除以3余2，因280*3＝840，得等差数列269+840N的各个项都满足这些条件。　　3、混合数　　如果在上面的基础上，再增加一个合数X，合数X含素因子A，B，C，即除以X的余数，不得与除以A，B，C的余数产生矛盾，也就是用除以X的余数去分别除以A，B，C的余数与题中标明的除以A，B，C的余数对比，不产生矛盾时题有解，产生矛盾时题无解。解法是用除以X的余数代替除以A，B，C的余数，除以A，B，C的余数不再参与具体的运算。　　例，某数为M，M/7余1，M/5余4，M/21余8，M/55余14，M/13余3，求M＝？　　因21＝3*7，55＝5*11，还有素数13，这里有3，5，7，11，13，共5个素数，因8/7余1与题中所提到的M/7余1不矛盾，14/5余4与题中提到的M/5余4不矛盾，该题有解。　　（1）、满足除以55余4为等差数列14+55N，　　（2）、方法一，3*7计算方法：将14+55N取21项：14，69，124，179，234，289，344，399，454，509，564，619，674，729，784，839，894，949，1004，1059，1114，只有344满足除以21余8。　　方法二、3+7计算方法：把M/21分为，8/3余2即M/3余2，8/7余1即M/7余1，有：　　将14+55N取7项：14，69，124，179，234，289，344，只有344满足除以7余1，因55*7＝385，得新等差数列344+385N，　　将344+385N取3项：344，729，1114，只有344满足除以3余2，因385*3＝1155，得新的等差数列344+1155N，　　（3）、344+1155N取13项：344，1499，2654，3809，4964，6119，7274，8429，9584，10739，11894，13049，14204。只有9584满足除以13余3，因1155*13＝15015，得9584+15015N等差数列的数，都满足这些条件。　　因M/21包含M/3和M/7，M/55包含M/5和M/11，所以，我们不能重复进行计算。　　4、同余问题　　关于同余问题，如M/A余K，M/B余K，M/C余K，那么，M必然为等差数列K+（ABC）N数列中的数。　　例，M/3余2，M/5余3，M/7余3，M/17余3，求M＝？　　除以5，7，17都余3的数在等差数列3+（5*7*17）N＝3+595N，将该数列取3项：3，598，1193，只有1193除以3余2，因595*3＝1785，得等差数列1193+1785N数列的每一项都满足这些条件。　　这里所说的同余，是狭义的，从广义的角度看，整个剩余数就是一个同余数。　　如，M/3余2，M/5余3，M/7余2，从狭义的角度看除以3与除以5同余2；从广义的角度看，除以3，5，7同余23。也就是说整除剩余数就是一个同余式组。