关于傅里叶变换

前几日看窄带信号的MUSIC算法，发现信号的表示都是在复数域上的。一般来说，我们能够测量到的信号都是实数信号，这就涉及到怎么把实数信号转换为复数表示，以及转换前后的信号之间的内在关系。于是就看到了信号的复包络表示，希尔伯特变换等等。这其中就涉及到一个信号如何表示基本问题。里面涉及到傅里叶变换的很多问题，我又认真想了下，算是又加深了对傅氏变换的几点理解。有关于复包络等日后有时间再写。以下内容欢迎讨论，共同进步。

信号处理中一个最为基本和常见的表示方法就是傅里叶变换。傅里叶变换的基本想法就是，把一个时域信号分解成若干个不同幅值的谐波信号来表示。谐波信号只有单一频率。在连续的傅里叶变换中，谐波信号的频率从负无穷大到正无穷大，积分使得无限个谐波信号的组合能够和原始的时域信号严格相等。然而离散傅氏变换中，我们只能用有限个谐波进行表述，因此只是对原始信号的拟合。这些谐波信号的频率间隔相同，最高到达采样率的一半（奈奎斯特采样定理）。谐波信号的个数，就是离散傅里叶变换的点数，因此，当点数越多时，对原始信号拟合的结果越精确。傅里叶变换的结果可以看做各个谐波分量在原始信号中的比重，对应的模越大，说明该谐波成分越高。

这些都是易于理解的。谐波信号从低频到高频变化的快慢由舒缓到剧烈，因此我们观察到时域信号是缓慢变化时，便可断定其中的低频成分较高，信号变化剧烈时，高频占有较大比重。信号中含有毛刺时，由于毛刺变化剧烈，于是可以认为毛刺引入了高频分量，对信号进行平滑后，毛刺减少，高频分量降低。这些都能从傅里叶变换的结果中验证。信号不变化时，便不包含任何谐波分量，只有频率为0的直流分量，对应的傅里叶变换系数表示该直流分量。

值得注意的问题是，信号可以用从低频到高频的谐波信号的组合表示，一般我们讨论的都是正频率，那么傅里叶变换中的负频率分量有什么意义？傅里叶变换的结果表示谐波分量的大小，那么为什么结果是复数呢？该复数的幅值、相位各表示什么含义？

从复平面上看可以更好地理解这些问题。从傅里叶逆变换的公式上可以看到，归一化的谐波分量exp(jwt)在复平面上就是沿单位圆旋转的单位向量。w为旋转的角频率，wt则是当前时刻的相位。所以一个时域信号在当前时刻的取值，就是所有类似F(w)exp(jwt)向量的和，其中F(w)便是附加在单位向量上的增益。

对于实数信号来说，为了保证类似F(w)exp(jwt)向量的和一直为实数，那么在任意时刻，必须有所有的向量都可以两两组合为一对共轭向量，才能使这两个向量的和在实轴上。假设在复平面逆时针旋转为正方向，那么只要存在正方向的旋转向量，必须存在顺时针负方向的旋转向量，以保证和为实数。因此，负频率分量代表沿复平面顺时针旋转的谐波分量。对于复数信号来说，意义也是类似的。在特定时刻，时域复数取值是复平面的一个向量，它是所有频率旋转向量在当前时刻的加和。显然，只有正频率分量是不够的。

有刚才的分析，傅里叶变换的取值为什么是复数便容易理解了。该复数相当于在当前时刻单位向量exp(jwt)上做了相位和幅值的调整，使得所有向量之和能够和当前时域值相等。因此，傅里叶变换的相位可以看做是相位的补偿，模可以看做是单位向量exp(jwt)对应的频率分量大小，因此如果忽略相位的影响，我们一般用傅里叶变换的模分析信号。

结合上图以及上述分析，就可以知道为何傅氏变换正负频率对应的值幅值相等，而相位相反了。