2-3树删除和插入操作的小结

学习2-3的操作后，感觉插入和删除的思想都不是特别复杂，但就是比较啰嗦。特别是删除，要处理很多种情况，本质上删除就是“合并”和“调整关键字的分布”，但不同情况编程的细节上有点差别。用图小结几个典型的情况。

（一）2-3树的插入

空树的插入最简单，创建一个节点即可。

对于非空树，首先查找到一个叶节点，沿着这个叶节点向上执行插入操作。

1.叶节点是2-node，直接把值插入到叶节点中。

2.叶节点是3-node，则需要分裂叶节点，并且在叶节点的父节点上执行插入操作。

  2.1如果父节点是2-node，直接把值插入到此父节点中；把上次分裂的两个节点链接到父节点上。

  2.2如果父节点是3-node，则需要分裂父节点，并把上次分裂的两个节点链接到父节点分裂后的两个节点上。再在父节点的父节点上执行插入操作，如此循环，直到1）某个祖宗节点是2-node；2）分裂根节点，并生成一个新的根节点。

几个插入的例子：

I. 将U插入到下面的树中。

1.1 首先比较三个关键字值：N,R和U，找到中间的一个关键字：R，将R与U替换。得到

1.2 然后分裂根节点。得到两个分裂的节点：

1.3跟节点被分裂，需要生成一个新的根节点，填入上次待插入的关键字：R,并把上次得到的两个分裂后的节点链接到新的根节点。

 

II.将E插入到下面的树中

2.1 需要插入的叶节点是3-node。我们首先找到三个关键字值:A,G,E中间的关键字，就是E。

不需要和叶节点中的关键字交换。然后分裂这个节点，得到：

 

2.2继续对父节点（关键字是J的节点）进行插入操作。这个节点是2-node，将关键字E插入到这个节点中，同时把上次分裂得到的两个节点也链接到这个节点上。

 

III 将K插入到下面的树：

 

3.1 首先找到三个关键字值“G,I,K”中的中间一个，是”I”,用K替换I，得到

然后将节点分裂，得到：

 

3.2 继续在父节点（包含关键字“D,L”的节点）中插入。找出三个关键字值“D,L,I“中间的一个值，它是“I”，不需要进行关键字的交换。然后分裂父节点，并且链接上次分裂的节点。得到：

3.3 在上一步关键字“I”还没有被插入，继续在包含关键字“N”的节点上进行插入。此节点是2-node，因此直接把I插入到这个节点中，同时链接上次分裂的两个节点。得到：

 

（二）2-3树的删除

 

首先我们找到所在要删除的关键字(假设是K)所在的节点。如果这个节点不是叶节点，就要找到中序排列时K后面的关键字所在的节点，这个节点一定是叶节点。然后交换这两个关键字，那么所删除的关键字最终还是在一个叶节点中。

 

1. 叶节点是3-node,则非常简单。

2. 叶节点是2-node,则需要讨论很多种情况。罗列几种典型的情况。

 

I 父节点是3-node

1.1删除节点是左孩子，中间孩子是2-node

圆圈表示包含要删除关键字的节点；三角形表示子树，可能是空子树。空子树时，父节点就是叶节点。

删除后得到新树：

 

1.2删除节点是左孩子，中间孩子是3-node

将关键字“a”移动空节点中，关键字“c”移到关键字“a”所在的节点内；调整中间的节点。得到新的树：

对其它的情况：

i删除节点是中间节点，右节点是2-node;

ii删除节点是中间节点，右节点是3-node;

iii删除节点是右节点，中间节点是2-node;

iv删除节点是右节点，中间节点是3-node;

情况“i” and “iii”类似于“1.1”；情况“ii” and “iv”类似于“1.2”；

 

II父节点是2-node

2.1 删除节点是左节点；右节点是2-node

删除空节点；把关键字“a”移到其右孩子节点中（也就是包含“b”的节点中）；为了维持树的高度不变，把包含“a”的节点变为空节点。得到：

这时我们又得到包含空节点的树，我们需要删除新的空节点。根据新的空节点的父节点的情况再分类处理。直到没有空节点了。

 

2.1 删除节点是左节点；右节点是3-node

把关键字“a”移动到空节点中；关键字“b”移动中父节点中；调整右节点，我们得到：

对其它情况：

“删除节点是右节点；左节点是2-node”类似于“2.1”；

“删除节点是右节点；左节点是3-node”类似于“2.2”；

从上面例子可以看到，删除一个关键字时，有时需要把空节点释放；有时保留空节点，但调整关键字以及相应子树。