并查集【数据结构】

http://dongxicheng.org/structure/union-find-set/

1、  概述

并查集（Disjoint set或者Union-find set）是一种树型的数据结构，常用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。

2、  基本操作

并查集是一种非常简单的数据结构，它主要涉及两个基本操作，分别为：

A． 合并两个不相交集合

B． 判断两个元素是否属于同一个集合

（1）       合并两个不相交集合（Union(x,y)）

合并操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

上图为两个不相交集合，b图为合并后Father(b):=Father(g)

（2）       判断两个元素是否属于同一集合（Find_Set(x)）

本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

3、  优化

（1）       Find_Set(x)时，路径压缩

寻找祖先时，我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这种情况，我们需对路径进行压缩，即当我们经过”递推”找到祖先节点后，”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示。可见，路径压缩方便了以后的查找。

（2）       Union(x,y)时，按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

4.编程实现

#define MAX 10int father[MAX];int rank[MAX];void Make_Set(int x){father[x]=x;rank[x]=0;}//查找x元素所在的集合，回溯的时候压缩路径int Find_Set(int x){if(x!=father[x]){father[x]=Find_Set(father[x]);}return father[x];}//按秩合并x，y所在的集合void Union(int x,int y){int t1=x;int t2=y;x=Find_Set(x);y=Find_Set(y);if(x==y){//cout<<"x和y属于同一个集合"<<endl;printf("%d和%d属于同一个集合,其祖先为%d\n",t1,t2,x);return;}if(rank[x]>rank[y])father[y]=x;else{if(rank[x]==rank[y]){rank[y]++;}father[x]=y;}}int main(){for(int i=0;i<10;i++)Make_Set(i);Union(0,3);Union(1,2);Union(0,2);Union(3,1);return 0;}

原文的代码：

int father[MAX];   /* father[x]表示x的父节点*/ int rank[MAX];     /*rank[x]表示x的秩*/   void Make_Set(int x) { father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化 rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化 } /* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/ int Find_Set(int x) { if (x != father[x]) { father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华 } return father[x]; } /* 按秩合并x,y所在的集合 下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化 但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。 */ void Union(int x, int y) { x = Find_Set(x); y = Find_Set(y); if (x == y) return; if (rank[x] > rank[y]) { father[y] = x; } else { if (rank[x] == rank[y]) { rank[y]++; } father[x] = y; } }

5、  复杂度分析

空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料（3）。

6、  应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。

7、  参考资料

（1）       并查集：http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

（2）       博文《并查集详解》：http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/

（3）       Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets, pp. 498–524.