第五章数组和广义表

来源：互联网发布：yy淘宝刷单兼职靠谱吗编辑：程序博客网时间：2024/05/17 18:42

一、数组和广义表的定义

数组和广义表可以视为是线性表的扩展，即线性表中的数据元素本身也是一个数据结构。

1. 二维数组定义

a₁₁ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

A_n*n= ……

a_m1 a_m2 … a_mn

A_n*n可定义为一个线性表：

（1） A=（a₁，a₂，…，a_n），其中：每个数据元素a_j（j=1，2，…,n）又是一个列向量的线性表，即：a_j=（a_1j，a_2j，…，a_mj），1≤j≤n

（2） A=（B₁，B₂，…，B_m），其中：每个数据元素B_j（j=1，2，…,m）又是一个行向量的线性表，即：B_j=（a_j1，a_j2，…，a_jn），1≤j≤m

2. 广义表定义

定义：数据元素可以使表的线性表。记为：LS=（d1，d2，…，dn）LS为表名，di（i=1,2，…，n），可以使单元素（用小写字母表示）；也可以是广义表（称为子表，用大写字母表示）；

n 为表的长度，当长度为0时称为空表；

称非空表的第一个元素d1为表头，其余元素组成的表（d2，…，dn）称表尾。（表尾一定是表，即使表尾只有一个元素或者没有元素也是表）

二、数组和广义表的基本运算

1. 数组的基本运算

(1) 给定下标，存取相应的数据元素

(2) 给定下标，修改相应的数据元素

2. 广义表的基本运算

（1）取表头HEAD(LS)；

（2）取表尾TAIL(LS)。

三、数组的存储结构

1. 数组的顺序存储结构

由于数组不作插入、删除操作，所以常采用顺序存储结构来实现数组，即用一组连续的存储单元，以行主（或列主）顺序依次存放数组的数据元素。

设每个数据元素占L个存储单元，di为第i维的下标上界，ci为第i维的下标下界，采用行主顺序存放，则二维数组中任一元素aij的存储地址为：

Loc[i，j]= Loc[c1，c2]+[（i-c1）*（d2-c2+1）+（j-c2）]*L

（Loc[c1，c2]逻辑上矩阵左上角的存放位置，也表示了整个数组存放的起始位置，c1为行下标下界，c2为列下标下界）

物理存放为一维向量顺序存储

Array：array[i]=item_i

不需要移动数据元素，我们可以

求长度，遍历数组，取数组元素，修改数组元素

不能进行的操作

Insertion，Deletion

2. 矩阵的压缩存储

（1） 对称矩阵

满足aij=aji，1≤i，j≤n

可以只存储n阶对称矩阵的上（或下）三角部分，将存储量从n²压缩到n（n+1）/2。

若用一维数组S(1……n（n+1）/2)，以行主顺序存放下三角部分，则S[k]和矩阵元素a_ij的对应关系为：

i（i+1）/2+j当i≥j

j（j-1）/2+i当i＜j

（2）对角矩阵

所有非零元素集中在平行于主对角线的带状区域中。如下矩阵。

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂a₂₃

……

a_n-1n-1 a_n-1n-1

a_nn-1 a_nn

若将三对角矩阵的元素按行主顺序存放在数组B[1，…，3n-2]中，则B[k]和元素a_ij的对应关系为：k=2i+j-2

（3）稀疏矩阵

非零元素较零元素少，且分布没有规律。对每一个非零元素a_ij可以用一个三元组（i，j，a_ij）来表示，其中i，j为a_ij的行列号，a_ij为元素的值。

1）三元组线性表的顺序存储结构称为三元组表

形式描述：

CONST maxnum=大于非零元素个数的常量；

maxmn=Max{m，n}；{行列最大值}

TYPE tuple3tp=RECORD

i，j：integer；

v：elemtp

END； {定义三元组}

稀疏矩阵可用一个三元组线性表和行列数来描述

TYPE sparmattp=RECORD

mu，nu，tu：integer；{mu总行数，nu总列数，tu非零元素总个数}

data：ARRAY[1……maxnum] OF tuple3tp

END；

另一种表示方法：

a[0].row=矩阵的总行数；

a[0].col=矩阵的总列数；

a[0].value=矩阵中非零元的总个数；

a[1]—a[maxnum]存放非零元。

行主顺序存放算法比较简单

2）矩阵转置算法

B=A^T<=> b[j][i]=a[i][j]

设A,B是sparmattp型变量，且互为转置矩阵

由A求其转置矩阵B，需做以下事情：

（1）矩阵的行列值互换，即若A为m*n，则B为n*m；

（2）每个三元组的行列号互换，即a_ij对应于b_ji；

（3） A中三元组以原阵的行序，而B中三元组是以原阵的列序。

算法一：

以原阵的列序依次产生b中各三元组的值；

PROC trans_sparmat（VAR b:sparmattp；a：sparmattp）；

b．mu：=a.nu；b.nu：=a.mu；b.tu：=a.tu；

IF b.tu<>0 THEN

[q：=1；

FOR col：=1 TO a.nu DO

FOR p：=1 TO a.tu DO

IF a.data[p].j=col

THEN[b.data[q]：=a data[p]；q=q+1]

]

ENDP；{trans_sparmat}

该方法实现直观、易理解，空间上节约，时间复杂度为O（a.nu*a.tu）。如果矩阵不是稀疏的，则a.tu=a.nu*a.mu，则时间复杂度为O（a.nu²*a.mu）

适用于矩阵稀疏的情况，不是稀疏矩阵时，此算法时间复杂度太高，不适合使用。

算法二：

快速矩阵转置算法

以原阵的行序产生转置后的三元组，并置入b中的恰当位置。

算法思想：

（1）设置num[1……a.nu] 和cpot [1……a.nu]两个辅助向量；

（2）在a.data中求矩阵M的每一列中非零元素个数，存于辅助向量num[ ]的对应列中；

（3）用递推公式算出每一列第一个非零元素在b.data中的位置，存于辅助向量cpot[]的相应列中，递推公式为：

cpot[1]=1

cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]，col=2……a.nu

（4）依次对a.data中的三元组进行转置，并按三元组的列号，从cpot的对应列取出该三元组应存放在b.data中的位置，然后将cpot该列中的值加1，使其记载该列下一非零元在b.data中的位置

（num的作用是初始化cpot）

算法实现：

PORC fast_transport（VAR b：=sparmattp; a:=sparmattp）

b.mu:=a.nu; b.nu:=a.mu; b.tu:=a.tu;

IF b.tu<>0 THEN

[q:=1;

FOR col:=1 TO a.nu DO num[col]:=0;

FOR t:=1 TO a.tu DO

Num[a.data[t].j]:=num[a.data[t].j]+1;{a.data[t]为当前扫描到的三元组}

cpot[1]:=1;

FOR col:=2 TO a.nu DO

cpot[col]:=cpot[col-1]+num[col-1];

FOR p:=1 TO a.tu DO

[col:=a.data[p].j; q:=cpot[col];

b.data[q].i:=a.data[p].j; b.data[q].j:=a.data[p].i;b.data[q].v:=a.data[p].v;

cpot[col]:=cpot[col]+1]

]

ENDP;{fast_transpos}

时间复杂度

Time complexity=O（a.nu + a.tu）

3. 三元组表线性表的链式存储结构称为十字链表

四、广义表的存储结构

广义表中的数据元素可以是单元素，或是广义表，很难用顺序存储结构表示，常采用链式存储结构。

1. 表头表尾链存储结构

有两类结点：表结点和单元素结点。

Tag=1 表结点

Hp 表头指针域

Tp 表尾指针域

Tag=0 单元素结点

Data 值域

形式描述为：

TYPE nodeptr=↑nodetype

nodetype=RECORD

tag：0..1

CASE tag OF

0:（data：elemtp）

1：（hp，tp：nodeptr）

END；

特点：

最上层的表结点数即为广义表的长度；

层次清楚；

表结点数目多，与广义表中括号对的数目不匹配。

2. 同层结点链存储结构

有两类结点：表结点和单元素结点

Tag=1 表结点

Tag=0 单元素结点

Data

Tp为链接同层下一结点的指针域，其它域的含义同表头表尾链结构

特点：

表结点的数目与广义表的括号对数目一致；

写递归算法不方便。

第五章 数组和广义表

第五章数组和广义表