欧几里得算法 辗转相除法 《数据结构与算法分析——Java语言描述》Mark Allen Weiss 第二章

欧几里得算法

Euclidean Algorithm

注：《数据结构与算法分析——Java语言描述》Mark Allen Weiss 第二章 提到欧几里得算法及其复杂度。

1. 证明

a)首先证明 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

充分性：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数

必要性： 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，但是a = kb +r  因此d也是(a,b)的公约数 综上，(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

b)补充说明：当gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) = ... = gcd(x, 0) = x （x!=0)

由于0和其他非零整数的最大公约数就是该非零整数，由gcd(a,b)推演gcd(x,0)的过程就是计算最大公约数的过程。

2. 递归实现
int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

3. 非递归实现

int gcd(int a, int b) {
    int r;
    while(b != 0) {
        r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}

4. 算法复杂度分析

对于任意两个数a，b满足a > b；

 • 如果 b ≤ a/2 ，则 amod b ≤ b ≤ a/2

 • 如果 b > a/2 ，则 a mod b ≤  a – b ≤ a – a/2 ≤a/2

可以看出每次这个操作都会将a减半，所以最后复杂度是O(log n)。

5. 改进算法 Stein算法

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。

和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

参考网址：

http://blog.csdn.net/pinganzi/article/details/8031289

http://www.cnblogs.com/Cmpl/archive/2011/05/28/2060582.html