GIS中的墨卡托投影

像Google Map，就是用的墨卡托投影，找了很多资料，对这方面也有了一个大概的了解，“投影”特指将地球表面的地理信息转换到平面地图上来。为了保证地理信息从球面转换到平面之后之后，仍然能够被充分地表达和理解，投影要遵循一定的规则，这样的规则有很多种：有的强调面积不变；有的强调距离不变；有的强调角度不变...总之是千奇百怪，严重挑战人们的想象力，下面几幅图就是使用不同的投影模式制作的：

墨卡托投影，又称等角正切圆柱投影，其原理是假设有一个与在赤道与地球相切的圆柱面，先把球面映射到这个圆柱面，再把这个圆柱面展开成为一个平面。

在墨卡托投影中，强调角度不变——假定地球表面有两点A和B，在地球球面上，B相对于A的角度是北偏东，那么经过墨卡托投影之后，在平面地图上，B相对于A的角度仍然是北偏东。这一点在航海中非常重要，因为在茫茫大海中，没有什么参照物，只能根据罗盘或者星象来判断方位，如果地图上终点相对于出发点的方位角和实际的方位角不同，那么这样的地图在航海中没有实际意义。正因为如此，海图一般都是采用墨卡托投影规则制作的（极地海图除外）。

例：设地球的半径为R，已知地球上一点P的坐标是，其中表示经度，范围是-<<，负数表示西经，正数表示东经；B表示维度，范围是-<<，负数表示南纬，正数表示北纬。将地球球面通过墨卡托投影映射到平面直角坐标系中，以0度经线与赤道的交点的映射点为原点，X轴与纬线平行，并取东方为正方向；Y轴与经线平行，并取北方为正方向。求P点在平面直角坐标系中的映射点P'的坐标(Xp',Yp')。

解：根据墨卡托投影的原理可知，墨卡托投影是由一个和地球赤道相切的圆柱面展开而成的，所以展开之后的图形的宽度就是地球赤道的长度，P'点的X坐标就是通过P'点的经线与赤道的交点到0度经线和赤道的交点之间的距离，也就是赤道线的一部分，其值为：

求P’点的Y坐标稍微麻烦一点，我们看下图：

因为墨卡托投影要遵循的一个原则是方向角不变，所以映射过程中X方向和Y方向的缩放比例要相同。从图中我们可以知道，纬度为的纬线圈，投影过后变成和赤道一样长的一条直线，所以纬度为的点附近一个非常小的区域，投影过后，水平方向的放大比率是：

而根据墨卡托投影的规则，该块小区域垂直方向上上的放大比率也应该是，在投影之前的地球表面上，小块区域竖直方向的边长就是经线的一部分，我们可以用地球的半径乘以一个小角度来表示：

那么投影之后的小区域竖直方向上的边长应该是：

在上式中，对纬度进行积分，我们便可以计算出纬度是的点，投影之后的Y坐标是：

所以，最终的结果就是：

也许你会怀疑，这个积分是怎样计算出来的，说实话我也没有搞清楚，据说是骨灰级的数学家算出来的，如果你想验证，我建议你从微分入手，证明下式成立，可能会容易一些：

至此，我们已经了解了墨卡托投影的原理和坐标转换的算法，但是还只能是比较粗浅的了解，为了能够深入掌握这种投影技术，这里有几个思考题供大家练习：

1）很多人错误地认为，用一个柱面把地球罩起来，柱面与地球的赤道相切，在地球球心处点一盏灯，假设地球表面是半透明的，那么在柱面上能够得到地球表面的影子，把柱面上地球表面的影子固定下来，把柱面沿着0度经线裁开，展开成为平面图，就完成了墨卡托投影。这种说法是否正确？怎样证明？如果错了错在哪里？

2）根据墨卡托投影得到的平面图，南北极点投影到无穷远处，但是google maps的世界地图却是正方形的，所以google maps的地图上，靠近极地附近的地理信息肯定是缺失的，利用“正方形”做为切入点，计算google maps地图上，能够体现的最高的纬度是多少？

3）对于墨卡托投影，有一个非常形象的比喻，就是利用一个柱面把地球罩起来，柱面与地球的赤道相切，把地球看成一个大气球，不断地膨胀，接触到柱面的地方就粘在柱面上，粘住的部分就固定不动了，剩余的部分继续膨胀，继续粘在柱面上，从而完成投影。这种说法是否正确？怎样证明？

关键词：GIS墨卡托投影