数字图像处理中的邻域初步

   信号系统中的基本运算相关和卷积，在实际的图像处理中就表现为邻域运算，邻域运算和点运算构成了最基本、最重要的图像处理手段。

    

    上图可看出一个点的邻域定义为以该点为中心的一个圆内部或边界上点的集合，这就统一了邻域和点运算。现举例，若中间+点坐标为（x，y），则看下式

 

    上式是对中间点及其上下左右四个点构成的邻域进行了均值运算，若再做下列转换：

 

    这个更为一般的公式就是我们所熟知的加权平均了，只是这种扯开来的表达形式太过冗长，如是能用矩阵表示则一个矩阵表示某点（x，y）及其上下左右坐标下的f值，将这几个值按制定位置排好；另一个矩阵就是加权的系数了，不同的系数与f作用后就能得到不同的效果或结果，在图像处理中，这个f值一般是灰度值（8bit灰度值为0~255任意一个），而加权的系数矩阵称为滤波器、掩膜、模板或核、窗口，前三个的叫法更普遍，但意思是一样的。

    上面说了，信号系统中的基本运算相关和卷积，在实际的图像处理中就表现为邻域运算，两者是如何一样的呢。

     信号上，两个连续函数f(x)与g(x)的相关记做，而二者卷积记做，信号中我们已经知道，相关与卷积是两个完全不同的概念，只是数学公式上的相近使得二者在计算上几乎可以相互通用。

     给定图像f(x,y)大小为N×N，模板T(i,j)大小m×m（m为奇数），常用的相关运算定义为: 使模板中心T((m-1)/2,(m-1)/2)与f(x,y)对应， 则图像中的相关公式为:

,如果m取常用的3，则

    相关运算是将模板当权重矩阵作加权平均。

    而卷积计算，

   

    可见卷积是模板先沿纵轴翻转，再沿横轴翻转后再加权平均的。

    但这里有两点需要解释：

    一是相关和卷积中，f(x,y)为何与T(1,1)对应，按理说将系数与f里的位置在标记上就完全对应是很方便记忆的。在讨论原理时确实可以这么定义的，但我们感兴趣的不是模板的原理而是对图像中任意一点(x,y)进行m*m掩膜处理得到相应R，实践中更有简化的记法如下：

    其中w为掩膜系数，z为该系数对应的灰度值，mn为掩膜中包含的像素点的总数。系数矩阵这种方便的记法是左上角为w1，右下角为w9，见下面这个图。

    第二点需要解释的是“模板先沿纵轴翻转，再沿横轴翻转后再加权平均的”，这纵轴、横轴的中心是上图的W5，这两次翻转的结果就是绕中心点转个180度，然后再与各个像素点下的f值相乘。可见与信号系统上一样，图像上的相关与卷积计算也是可用同一个模板，只是将模板转一个180度就行了，其实转回到信号上，信号中卷积计算时就是其中一个函数先关于y轴对称再计算云云，也就是翻转了180度。

    如果模板是对称的，那么相关与卷积运算结果完全相同。实际上常用的模板如平滑模板、边缘检测模板等都是对称的，因而这种邻域运算实际上就是卷积运算，用信号系统分析的观点来说，就是滤波，对应于平滑滤波或称低通滤波、高通滤波等情况。这里只说了邻域的初步，至于其应用的原理以后再说。