伸展树——自顶向下

三种旋转

   当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。

没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：

1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。
1、zig：
 
                               
    如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。
2、zig-zig:
 
                               
    在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:
 
                           
    在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
    最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
 
                               

    将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。

   

   

  右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。  左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。

 越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大；越是在路径前面移动到左树的节点，其值越小。

 这很显然，右连接，将当前根以及右子树全部连接到右树，即把整课树中值大的一部分移走（大于等于当前根），

 后面，在进行右连接，其值肯定小于之前的，所以，要加在右树的左边。

伸展树伪代码

 右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。 左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。  T ： 当前的根节点。  Function Top-Down-Splay     Do          If X 小于 T Then               If X 等于 T 的左子结点 Then           //zig                 右连接               ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then       //zig-zig                 T的左子节点绕T右旋                 右连接               Else X大于 T 的左子结点 Then          //zig-zag                 右连接                 左连接               EndIf               ElseIf X大于 T Then               IF X 等于 T 的右子结点 Then                 左连接               ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then                 T的右子节点绕T左旋                 左连接               Else X小于 T 的右子结点 Then                 左连接                 右连接               EndIf          EndIf     While  ！(找到 X或遇到空节点)      组合左中右树  EndFunction 

zig-zag这种情形，可以先按zig处理。第二次循环在进行一次处理。简化代码如下：

  Function Top-Down-Splay      Do          If X 小于 T Then               If X 小于 T 的左孩子 Then                  T的左子节点绕T右旋               EndIf                   右连接              Else If X大于 T Then                If X 大于 T 的右孩子 Then                    T的右子节点绕T左旋                EndIf                左连接              EndIf      While  !(找到 X或遇到空节点)      组合左中右树  EndFuntion

例子

下面是一个查找节点19的例子：
    在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
 
  如果查找的元素不在树中，则寻找过程中出现空的上一个节点即为根节点。

CPP代码

 .h

struct SplayNode{int element;SplayNode *left;SplayNode *right;};class SplayTree{public:SplayTree();~SplayTree();void Insert(int data);void Remove(int data);SplayNode *Find(int data);private:SplayNode *_tree;SplayNode *_Insert(SplayNode *T, int item);SplayNode *_Remove(SplayNode *T, int item);SplayNode *_Splay(SplayNode *X, int Item);SplayNode *_SingleToRight(SplayNode *K2);                  SplayNode *_SingleToLeft(SplayNode *K2);                   void  _MakeEmpty(SplayNode *root);};

.cpp

SplayTree::SplayTree(){_tree = NULL;}SplayTree::~SplayTree(){_MakeEmpty(_tree);}void SplayTree::Insert(int data){_tree = _Insert(_tree, data);}void SplayTree::Remove(int data){_tree = _Remove(_tree, data);}SplayNode *SplayTree::_SingleToRight(SplayNode *K2)  {      SplayNode *K1 = K2->left;      K2->left = K1->right;      K1->right = K2;              return K1;  }              SplayNode *SplayTree::_SingleToLeft(SplayNode *K2)  {      SplayNode *K1 = K2->right;      K2->right = K1->left;      K1->left  = K2;                return K1;  } SplayNode *SplayTree::_Splay(SplayNode *X, int item){static struct SplayNode Header;SplayNode *leftTreeMax, *rightTreeMin;Header.left = Header.right = NULL;leftTreeMax = rightTreeMin = &Header;while( X != NULL && item != X->element){if(item < X->element){if(X->left == NULL)break;if(item < X->left->element){X = _SingleToRight(X); } if( X->left == NULL)break;                        //右连接                        rightTreeMin->left = X;rightTreeMin       = X;X                  = X->left;}else{if(X->right == NULL)break;if(item > X->right->element){X = _SingleToLeft(X);}if(X->right == NULL)break;                        //左连接                        leftTreeMax->right = X;leftTreeMax        = X;X                  = X->right;}}leftTreeMax->right = X->left;rightTreeMin->left = X->right;X->left = Header.right;X->right = Header.left;return X;}SplayNode *SplayTree::_Insert(SplayNode *T, int item){static SplayNode* newNode = NULL;if(newNode == NULL){newNode = new SplayNode;}newNode->element = item;if(T == NULL){newNode->left = newNode->right = NULL;T = newNode;}else{T = _Splay(T, item);if(item < T->element){newNode->left = T->left;newNode->right = T;T->left = NULL;T = newNode;}else if(T->element < item){newNode->right = T->right;newNode->left = T;T->right = NULL;T = newNode;}else{delete newNode;}}newNode = NULL;return T;}SplayNode *SplayTree::_Remove(SplayNode *T, int item){SplayNode *newTree;if(T != NULL){T = _Splay(T, item);if(item == T->element){if(T->left == NULL){newTree = T->right;}else{newTree = T->left;newTree = _Splay(newTree, item);newTree->right = T->right;}delete T;T = newTree;}}return T;}void SplayTree::_MakeEmpty(SplayNode *T)  {      if(T != NULL)      {          _MakeEmpty(T->left);          _MakeEmpty(T->right);          delete T;      }  }SplayNode *SplayTree::Find(int data){_tree = _Splay(_tree, data);if(_tree->element == data)return _tree;elsereturn NULL;}

参考

参考：http://www.cnblogs.com/kernel_hcy/archive/2010/03/17/1688360.html