使用牛顿迭代法求根 一元三次方程的根

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f’(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f’(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f’(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f’(x (n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f’(x0)+(x－x0)^2*f”(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f’(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f’(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f’(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f’(x(n))。

//由于算法的限制，这个程序求得的根并不能保证一定是距输入估计值最近的根,但一定是方程的根

?

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#include<iostream>

#include<stdio.h>

#include<cmath>//调用了fabs、pow函数

usingnamespace std;

 

doublef(int,int,int,int,double);//函数声明

doublef1(int,int,int,int,double);

doubleget_solution(int,int,int,int,double);

 

intmain()

{

inta,b,c,d;

doublesolution,solution_value;

 

cout<<"pls input the parameters of the equation a,b,c,d;and the estimate x"<<endl;

cin>>a>>b>>c>>d>>solution;

 

solution_value=get_solution(a,b,c,d,solution);

if(solution_value<=1e-5)//当求得的根很小时，直接让它为0

solution_value=0;

cout<<"the solution near "<<solution<<" is "<<solution_value<<endl;

 

getchar();

return0;

 

}

 

doublef(intw_f,intx_f,inty_f,intz_f,doublesol_f)//当根为x时，用来求f(x)的值

{

doublef_result=w_f*pow(sol_f,3)+x_f*pow(sol_f,2)+y_f*sol_f+z_f;

//cout<<"f_result is "<<f_result<<endl; //调试时用

returnf_result;

}

 

doublef1(intw_f1,intx_f1,inty_f1,intz_f1,doublesol_f1) //当根为x时，用来求f'(x)的值

{

doublef1_result=3*w_f1*pow(sol_f1,2)+2*x_f1*sol_f1+y_f1;

//cout<<"f1_result is "<<f1_result<<endl;//调试时用

returnf1_result;

}

 

doubleget_solution(intw,intx,inty,intz,doublesol) //求根函数，调用了上面两个函数

{

doublevalue,tmp;

 

value=sol;

do//使用了x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断循环逼近

{

tmp=f(w,x,y,z,value);

value=value-tmp/f1(w,x,y,z,value);

 

//cout<<"funciont_value is "<<tmp<<";value is "<<value<<endl;//调试时用

}while(fabs(tmp)>=1e-5);//当式子的值与0的绝对值小于1e-5时就认为取到了值

 

returnvalue;

}

测试例子：ax^3 +b x^2+cx+d=0,所以运行时候分别输入a=2,b=1,c=1,d=-14,以及求X在某个值附近的根，比如2.1

pls input the parameters of the equation a,b,c,d;and the estimate x

2 1 1 -22

2.1

the solution near 2.1 is 2

pls input the parameters of the equation a,b,c,d;and the estimate x2 1 1 -222.1the solution near 2.1 is 2

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