《Algorithms》第8章：NP完全问题 学习笔记

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* 第0~第8章的全部笔记已经整理在http://zjsblog.com/ALGO/index.html

* Algorithms 是一本很经典的算法入门书，希望对朋友们有所帮助

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Chapter 8：NP-完全问题

8.1 一些搜索问题:

搜索问题定义：

一个搜索问题是由一个算法C描述的，以问题实例I和一个可能的解S为输入，运行在关于|I|的多项式时间内。我们说S是I的一个解，当且仅当C(I,S) = true。

可满足性问题（简称SAT）

问题定义：给定一个采取合取范式的布尔公式，为其找到一个可满足赋值或判定该赋值不存在。

eg：

旅行商问题（TSP）

给定n个顶点和两两之间的距离，以及预算b。我们需要确定一条路线，该路线为一个恰好经过每个顶点一次的环，且总的预算不能超过b，否则报告解不存在。

什么情况下，可以一笔画某个图形？

a）该图是连通的

b）除最多两个顶点外，所有顶点上的边数都为偶数

Euler路径的搜索问题如下：给定一个图，寻找一条恰好包含每条边一次的路径。

Rudrata环路搜索问题如下：给定一个图，求一条经过每个顶点恰好一次的环路，或者报告该环路不存在。

整数线性规划（ILP）

在线性规划中，所有的数值必须都是整数。

问题定义：给定A和b，求一个非负整数值向量x，满足不等式Ax<=b，或者报告该解不存在。

至今没有高效解法

ILP有一个困难的特例：目标是求0和1构成的向量x，满足Ax=1，其中A是一个由0和1构成的m*n阶矩阵。我们称之为零一方程（ZERO-ONE EQUATION，ZOE）

3D匹配

有n个男孩，n个女孩和n个宠物，他们之间的相容关系被表达为一个三元组的集合，集合中每个元素都包含一个男孩、一个女孩和一个宠物。我们需要求n个独立的三元组，从而形成n个和谐的“家庭组合”。

独立集、顶点覆盖和团

独立集问题：给定一个图和整数g，目标求图中的g个互相独立的顶点。

顶点覆盖问题：给定一个图和预算b，求b个能覆盖到每条边的顶点。

顶点覆盖是集合覆盖的一个特例。

团问题：给定一个图以及目标g，求图中的g个顶点，使得这些顶点间两两都存在相连的边。

背包问题与子集和

动态规划给出了背包问题一个O(nW)的算法（填一个n*W的表格）。由于运行时间中包含的是W而不是logW，因此该时间与输入规模（输入位数）是指数关系。

背包问题有多项式时间算法吗？至今现在还没人知道答案。

另一个变型：假设每件物品的价值都等于其重量。等价于求一个整数集子集的问题，目标是使子集中的所欲元素的和恰好为W。这个问题也非常困难。

8.2 NPC问题

困难的问题和容易的问题：

P和NP

我们将所有搜索问题称为NP问题。所有能在多项式时间内求解的搜索问题被记为P。

搜索问题中的归约：由搜索问题A到搜索问题B的归约是一个多项式时间算法f，其将A的任何实例I转化为问题B的实例f(I)；同时存在另一个多项式时间算法h，将f(I)的任意解S映射到I的一个解h(S)，具体过程如下：

称一个搜索问题是NP完全的，是指其它所有搜索问题都可以归约到它。一个问题要成为NPC，它必须能用于解决世界上所有的搜索问题。

使用归约的两种途径

如果问题A可以归约为问题B（A->B），则

a）如果能高效求解B，也一定能高效求解A

b）如果A是难的，则B也是难的

8.3 所有的归约

搜索问题的相互归约：

为什么说是互相归约的？

上图中所有的NPC问题都可以归约为电路SAT问题，电路SAT可以归约为SAT问题，所以构成环。

Rudrata(s,t)-路径 --> Rudrata环路

Rudrata(s,t)-路径问题：指定两个特殊的顶点s，t，然后求一条由s到t的恰好经过每个顶点一次的路径。

Rudrata环路问题：给定一个图，求是否存在一个恰好经过每个顶点一次的环路

以下归约告诉我们前者不会比后者难：

3SAT --> 独立集

这里用一个具体的例子说明了归约过程，考虑3SAT：

我们将每一个子句表示为一个三角形，例如 子句(~x ∨ y ∨ ~z) (~x表示x取反)，其中顶点分别标注为~x，y，~z。对所有子句重复这一做法。然后连接子句和子句间相反的文字（比如x和~x连接）

我们得到的最终图形如下：

我们只需找到大小为4的独立集即可（4从哪里来？答：4为子句的数量）

SAT --> 3SAT

用如下方法进行归约：

证明：

1）假设右侧子句都满足，则a_1,a_2,...,a_k中至少有一个为真，否则y_1必须为真，进而使y_2必须为真，依次类推，最终导致右侧最后一个子句不满足，矛盾。因此a_1 ∨ a_2 ∨ ... ∨ a_k 必然满足。

2）假设左侧子句满足，则必有某个a_i为真。令y_1,...y_i-2 为true，其余的都为false。这使得右侧满足。

独立集 --> 顶点覆盖

节点集合S是图G(V, E)的一个顶点覆盖，当且仅当剩余节点的集合V-S是G中的一个独立集。

证明（反证）：

1）“ => ”

若V-S不是独立集，则必存在一条边e相连V-S中的两个顶点，则此边e没有被S中的顶点覆盖到，故S不是顶点覆盖，矛盾。

2）“ <= ”

若S不是顶点覆盖，则必存在一条边e的两个顶点都不在S中，则此两顶点必在V-S中，则V-S不是独立集，矛盾。

独立集 --> 团问题

节点集S是G的一个独立集当且仅当S是G的补图中的一个团

3D匹配 --> ZOE

转换过程如下：

A中的5列对应于5个三元组（eg，第一列对应于左图标记为1的三元组，以此类推），9行则分别对应于Al、Bob、Chet、Alice、Beatrice、Carol、Armadillo、Bobcat、Canary。

则只需找到一个x，使得Ax=1，即可。若x = (1,1,0,1,0)T，则原3D匹配问题的答案为选择标号为1、2、4的三元组。

ZOE --> 子集和

例如，给定如下ZOE实例：

我们要求A的一个列集合，将其相加恰好为值全部为1的向量。如果我们将列看成是二进制整数（自上向下读），则我们所求的就是整数18、5、4、8的一个子集，其中的数相加等于二进制数 11111 = 31。这恰好是子集和的一个实例。归约完成。

任意NP问题 --> SAT

归约思路：

任意NP问题 --> 电路SAT --> SAT

1）任意NP问题 --> 电路SAT

假设A是一个NP问题，我们所知的全部就是它是个搜索问题，主要特征是其任意解都能被快速检验。即存在算法C，以问题实例I和可能解S作为输入，判断S是否为I的解。此外C做出判断的时间关于I的长度是多项式规模的。因为任意多项式算法都可以被表示为一个电路，所以我们可以再多项式时间内构造一个电路，其已知输入为I对应的比特，未知输入为S对应的比特，则其最终输出为true当且仅当未知输入对应的S为I的解。

2）电路SAT --> SAT

归约方案如下：