leetcode之Largest Rectangle in Histogram

原载于http://blog.csdn.net/yanxiangtianji

转载请注明出处

题目：

Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

For example,
Given height = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

暴力：

穷举各个segment，共二分之n平方个（O(n^2)），在每个segment里面找到最小高度（O(n)），可以优化到O(1)。找高度与segment长度之积最大的。

总体时间复杂度为O(n^3)，可以优化到O(n^2)；空间复杂度O(1)。

class Solution {public:    int largestRectangleArea(vector<int> &height) {        // Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        unsigned res=0;        for(size_t i=0;i<height.size();i++){//end            for(size_t j=0;j<=i;j++){//start                size_t min_h=0xffffffff;                for(size_t p=j;p<=i;p++)                    min_h=min(min_h,static_cast<size_t>(height[p]));                res=max(res,min_h*(i-j+1));            }        }        return res;    }};

优化后（O(n^2)）：

class Solution {public:    int largestRectangleArea(vector<int> &height) {        // Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        unsigned res=0;        for(size_t i=0;i<height.size();i++){//start            size_t min_h=0xffffffff;            for(size_t j=i;j<height.size();j++){//end                min_h=min(min_h,static_cast<size_t>(height[j]));                res=max(res,min_h*(j-i+1));            }        }        return res;    }};

 

DP：

方法一：可以将高度离散化为至多n个从0开始的“逻辑高度”（用real_height[h]表示逻辑高度h对应的真实高度），状态为到p为止的逻辑高度为h的矩形的面积f(p,h)，若这样的矩形不存在，则f(p,h)=0。

初始化假定f(-1,*0)=0

状态转移方程：

f(p,h)= 当h>height[p]时：0

             当h<=height[p]时：f(p-1,h)+h

最后求最大的f(n-1,*)，然后将逻辑高度表示的逻辑面积转换为实际面积：f(n-1,h)/h*real_height[h]。

时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n^2+n)，考虑到更新f(p,*)时只用到了f(p-1,*)，可以将二维状态压缩为一维，即空间复杂度可以压缩为O(n)。

具体压缩方法（用dp表示f）：

直接去掉p维度，变f(p,h)为dp[h]，操作时更新对应的dp[h]即可。

方法二：

如果能够知道：到p为止(p=0,1,...,n-1)，向前追溯l个格子（l=1,2,...,p）的矩形的最大高度f(p,l)，就可以用l*f(p,l)表示这个矩形的面积。

目标即为找到最大的l*f(p,l)值。其中p=1...n；l=1...p。

状态转移方程：

f(p,l) =  当l不为1：min( f(p-1,l-1), height[p] )

              当l为1：height[p]

时间复杂度O(n^2)；空间复杂度为O(n^2)，考虑到只是用了f(p-1,*)，空间可以压缩到O(n)。

具体压缩方法（用dp表示f）：

去掉p这个维度，l从大到小迭代，此时访问dp[l-1]即为访问f(p-1,l-1)。

class Solution {public:    int largestRectangleArea(vector<int> &height) {        // Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        vector<unsigned> dp;        dp.reserve(height.size()+1);        dp[0]=0xffffffff;        unsigned g_max=0;        for(size_t i=0;i<height.size();i++){//i is end position            for(size_t l=i+1;l>0;l--){//l is length                dp[l]=min(dp[l-1],static_cast<unsigned>(height[i]));                g_max=max(dp[l]*l,g_max);            }        }        return g_max;    }};