hdu 2588

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2588

又一道欧拉函数题，题目要求小于等于n且与n的最大公约数大于等于m的所有数的个数

欧拉函数只能求出小于n且与n互质的所有数的个数，但是无法求出最大公约数是否大于m

但是 我们可以这样想 设a为大于等于m的n的一个约数，那么euler(n/a)表示的就是所有小于a与a互质的数的个数，设任一个数为x，那么这些数再乘以a就有gcd(n,x*a) = a;

所以我们可以想到答案为所有n大于等于m的约数ai的euler(n/ai)之和

但是还有一个问题 这些数是否会重复呢？答案是否定的

设a、b为两个不同的大于等于m的n的约数

假设存在重复 那么就有 a*x = b*y (x是小于等于n/a且与n/a互质的数，y是n/b的。。)

变形 得到 x*n/b = y*n/a 由于x和n/a互质 所以 x是y的约数（因为两边分解质因数的时候n/a不能分出x的约数 只能是y来分）

不妨设 y = kx（k>1）  则 n/b = k(n/a)

由于y和n/b互质 则kx和n/b互质 但是n/b有个k作为约数 所以他们有公约数k 这显然推出k = 1 于是产生a==b矛盾！

所以不会产生重复

最后注意一下 m=1的时候答案就是n 直接加结果貌似不对

贴段代码

#include <string.h>#include <iostream>#include <stdio.h>#include <math.h>using namespace std;int euler(int n){    int temp = n;int sq_n = sqrt(n+0.5);int ans = n;for(int i = 2;i<=sq_n;i++){if(n%i==0){ans = ans/i*(i-1);while(n%i==0) n/=i;}}if(n>1) ans = ans/n*(n-1);return ans;}int main(void){//freopen("","r",stdin);int t;scanf("%d",&t);while(t--){int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);if(m==1){    printf("%d\n",n);    continue;}int ans = 0;int sq_n = sqrt(n+0.5);for(int i = 2;i<=sq_n;i++){if(n%i==0){    if(i>=m) ans+=euler(n/i);if(n/i>=m) ans+=euler(i);}}if(n!=1&&sq_n*sq_n==n&&sq_n>=m) ans-=euler(sq_n);printf("%d\n",ans+1);}}