二叉树 - 定义及数学性质

定义

满二叉树：每个内节点都有两个孩子。

完全二叉树：除了最后一层叶子外的二叉树是满二叉树，最后一层叶子都连续地集中在最左边。

平衡二叉树：树的两个子树的高度差不超过1。

赫夫曼树：带路径权值的树，权值越高的越靠近根。

高度：高度不包括根结点，及如果根结点无左右子树，则高度为0。

数学性质

性质一：高度为h的二叉树至多有2^h个叶子结点

证明略。

性质二：高度为h≥0的二叉树至少有h+1个结点

如果要使高度为定值的二叉树的结点数最少，则该二叉树的每个结点只有一个子树，即每层只有一个结点，共h个，再加上根结点，共h+1个，所以至少有h+1个结点。

性质三：高度不超过h(≥0)的二叉树至多有2^h+1-1个结点

证明：

满二叉树结点最多，所以证明满二叉树是否满足该性质。

当h=0时，只有根结点，即结点数为1；

假设h=k时，结点数为2^k+1-1；

则当h=k+1时，由于比高度为k的二叉树多了一层叶子，根据性质一，第k+1层最多有个2^k+1叶子，所以共有2^k+1+2^k+1-1=2^(k+1)+1-1个结点；

证毕。

性质四：含有n≥1个结点的二叉树的高度至多为n-1

由性质二可得出。

性质五：含有n≥1个结点的二叉树的高度至少为logn，因此其高度为Ω(logn)

根据性质三可得出。

满二叉树

性质一：高度为h的满二叉树，共有2^h+1-1个结点

证明：

结点共有1+2+4+...+2^h = 2^h+1-1

性质二：共有2^h个叶子

性质三：共有2^h-1个内结点，内结点个数比叶子少1

证明略。

完全二叉树

完全二叉树是一个比较特殊的二叉树，有着很多性质。

我们从树根起，自上层到下层，逐层从左到右给二叉树的所有结点编号，编号从1开始，即根结点编号为1。

性质一：第h层的从左到右第k个结点的编号为2^h+k-1

该完全二叉树是由高为h-1的满二叉树和第h层的k个叶子组成，h-1的满二叉树共有2^h-1个结点，所以，h层第k个结点的编号为2^h+k-1。

性质二：叶子个数或者和内结点个数相等或者多1

高度为h的完全二叉树是由高度为h-1的满二叉树和k个叶子组成，由满二叉树的性质得出，叶子数比内结点多1。

我们通过给高为h-1的满二叉树增加叶子来得到完全二叉树，当我们给左边第一个叶子增加1个结点时，该叶子变为了内结点，而增加的结点是叶子，可以得出，叶子数没变，而内结点数增加了一个，此时，内结点数和叶子数一样；再增加一个结点，可以得出，叶子数增加了一个，而内结点数不变，所以此时，叶子数比内结点数多1。按照同样的步骤依次将剩余的叶子添加后，该性质是不变的。

性质三：通过本结点的编号可以快速得到父结点、左右孩子的编号

int parent(int i){

return i>>1;//i/2

}

int left(int i){

return i<<1;//i*2

}

int right(int i){

return (i<<1) + 1;//i*2+1

}