出栈顺序与Catalan数

[问题描述]：对于一个栈，已知元素的进栈序列，判断一个由栈中所有元素组成的排列是否是可能的出栈序列。比如，进栈序列为1 2 3 4，则可能的出栈序列有4 3 2 1，1 4 3 2等，而1 4 2 3就不是合法的出栈顺序。

解决的办法是，模拟这个进栈和出栈的过程即可。假如入栈的序列为A，出栈的序列为B。对于A的每次进栈，就判断栈顶元素与B序列的顶部元素相等。如果二者相等，那么就表示A出栈了，将栈顶元素弹出。直到将A和B序列都处理完成，那么出栈顺序是合法的，否则是非法的。

如果入栈序列的A的长度为n，有多少种合法的出栈序列？这个问题与括号匹配类似：n对括号有多少种正确的匹配方式？入栈对应左括号，出栈对应右括号。

n对括号有n个左括号和n个右括号，正确匹配方式的数目记为f(2n)。第一个位置一定是左括号，假设与其配对的右括号出现在2k-1(k=1,2,...,n)的位置上：

0  ...   2k-1    ...  2n-1

（ ...    )      ...    )

这个右括号将括号序列分为两部分：0~2k-1之内有2k-2个括号，匹配方式有f(2k-2)种；2k-1之后有2n-2k个括号，匹配方式有f(2n-2k)种。于是

令h(n)=f(2n)，则上式变为

h(n)叫做卡特兰数(Catalan number)，通项公式为

附判断是否是合法出栈序列的代码：

#include <stack>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define MAXLEN 100// 入栈序列A，判断序列B是否为合法的出栈序列template <typename T>bool isLegalSeq(T *A, T *B, int N){stack<T> Stack;int a = 0, b = 0;while(a < N && b < N){Stack.push(A[a]);a++;while(!Stack.empty() && Stack.top() == B[b]){b++;Stack.pop();if(a == N && b == N)return true;}}return false;}int main(){int i;int N;int A[MAXLEN], B[MAXLEN];int cnt;for(i = 0; i < MAXLEN; i++){A[i] = i+1;B[i] = i+1;}while(scanf("%d", &N), N != 0){cnt = 0;do{if(isLegalSeq(A, B, N))cnt++;}while(next_permutation(B, B+N));printf("tot = %d\n", cnt);  // 总数应等于Catalan数}return 0;}

卡特兰数的推导过程：

h(n)的生成函数g(x)为

我们来计算[g(x)]^2:

n次项的系数为，正好等于h(n+1)，又注意到，于是

解得

在x=0处做泰勒展开

因此