SRM442题解

rng_58出的神数学题……爆零给跪……不过发现TC在做练习赛的时候自己可以无限制地cha自己……

250pts：

题意：有一堆N个石子，双方轮流取，每次只能取4^k个（k为非负整数），无法操作者败。求是否先手必胜。

分析：这题有神结论……先说一种错误做法：把N化为四进制，对四进制数的每位求和，如果和为奇数这先手必胜。

这个做法是错的，因为一次取不一定要取高位。举个例子，N=8，化为四进制为20。但此时是先手必胜的，因为先手可以取1个，之后无论后手怎么操作都必败。

这题的神结论就是：先手必败的充要条件是，N除以5余0或2。证明如下：

1、证明任意必胜态都能在一步之内到达一个必败态。必胜态为N%5=1,3,4，而4^k%5=1或4，所以N-4^k%5=0,2。

2、证明任意必败态都无法在一步之内到达另一个必败态。假设存在必败态x和y（x,y%5=0,2）且存在非负整数k'使得x-4^k'%5=y%5。可以发现等式是无法成立的。

600pts：

题意：有N张牌，正反都有数字。所有正面和所有反面的数字各构成一个排列。将牌排成一排，每张牌可以正面朝上或者反面朝上，这样可以构成一个序列。给定N张牌正面和反面的数字，求：所有可能的序列方案数。N≤50。

比如：3张牌，正面分别为1、2、3，反面分别为1、3、2。一共有12种序列：

123、132、213、231、312、321、133、313、331、122、212、221。

分析：

假设N足够小，可以让我们枚举哪些牌正面朝上。那么会发现，可能会有一些数字重复出现，而且重复出现次数最多为2。记重复出现的数字个数为K，那么这些牌的不同排列数为：N!/2^K，即多重集的排列数。

现在我们要求的就是，对于任意合法的K，在多少种牌的正反方案中有K个数出现了2次。

我们把所有牌按正面数值1到N的顺序摆成一排。这样我们就可以把反面数值视为一个置换，把这张牌反面就相当于置换这一个位置。可以发现，置换的不同循环之间是不影响的。

现在我们就来考虑一个循环。记这个循环的长度为L，假设出现两次的数的个数为K。显然有K≤L/2。

……然后呢？似乎不太好求啊。尝试转换思路，比如……

建立图论模型。

将循环的每个元素视为一个节点，每个元素连向元素的值对应的元素的节点。

有了这个图可以干什么呢？

一张牌可以视为其中的一条边，牌是否反面朝上相当于边是否反向。牌的数字也即边指向的节点对应元素的值。

那么出现两次的数也即入度为2的节点对应元素。而且还可以发现，入度为2的节点和入度为0的节点个数相等，并且交替出现。

那么我们就可以得出一个计算长度为L的循环中有K个数出现两次的方案数的公式：2*C(L,2K)。K=0时方案数为1。

注意刚才只考虑了牌的正反，还没有考虑排列。剩下的部分就不难了。可以用背包求出对于整个序列出现两次的数为K个的方案数，再用多重集的排列公式计算求和。也可以处理出每个循环内部出现两次的数为任意个的方案数，然后把一个循环视为同一种元素，还是一个多重集排列的问题。

900pts：

还不会……官网题解写的是DP+结论……