单源最短路径的求法

2.最短路径

算法思想：

设图中有n个结点，设置一个集会u，存放已经求出最短路径的结点（初始时u中的元素是源点），v-u是尚未确定最短路径的顶点的集合。每次从v-u集合中找这样一个结点 best_j：best_j是u集合中结点的邻接点，到源点的距离最短（等于到父结点的距离加上父结点到源点的距离）。然后把该best_j置入u集合中，直到u=v。

 A.标号法求解单源点最短路径：
   var
     a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
     b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}
     mark:array[1..maxn] of boolean;

   procedure bhf;
     var
       best,best_j:integer;
     begin
       fillchar(mark,sizeof(mark),false);
    mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点}
    repeat
      best:=0;
        for i:=1 to n do{双重循环，找到这样一个结点：所有已经标号的结点（包括源点）的邻接点中，到源点距离最短的点，j点到源点的距离是她到父节点的距离加上父节点到源点的距离，这里与prim算法求最小生成树的思想有点不同，prim是所有已经标号的结点的邻接点中，到父节点距离最短的点，}
         If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
          for j:=1 to n do
            if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then{j未标号，是i的邻接点} 
           if (best=0) or (b[i]+a[i,j]<BEST) THEN {因为b[1]＝0，所以best的第一个值是b[I,j]值 }

BEGIN
             best:=b[i]+a[i,j];  best_j:=j;
          end;
       if best>0 then begin
         b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true;
       end;
     until best=0;
     end;{bhf}

总结：每次找best_j都要双重循环，原因是没有把未标号结点当前到源点的最短距离保存起来，还有优化的空间。

 

C. Dijkstra 算法：

var
     a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
     b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
     mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure dijkstra(v0:integer);
 begin
   fillchar(mark,sizeof(mark),false);
   for i:=1 to n do begin
     d[i]:=a[v0,i];
     if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
   end;
   mark[v0]:=true;
   repeat   {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
     min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点}
     for i:=1 to n do
       if (not mark[i]) and (d[i]<MIN) THEN

BEGIN
         u:=i; min:=d[i];
     end;
     if u<>0 then begin
       mark[u]:=true; 
       for i:=1 to n do
        if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]<D[I]) THEN{如果未标号的结点经过新标号的结点到源点的距离最短，则调整，这样d集合总是未标号结点到源点的最短距离}

BEGIN
          d[i]:=a[u,i]+d[u];
          pre[i]:=u;
       end;
     end;
   until u=0;
 end;