Phasor與頻率響應

Phasor與頻率響應

【本節討論】

1.         從Time domain到 Frequency domain

2.         解釋說明 LTI System (線性非時變系統)

3.         解釋說明 Phasor

4.         為什麼要用 Phasor來分析電路？

5.         阻抗的觀念

6.         說明頻率響應

在開始講解頻率響應之前，必須先將幾個觀念解釋清楚，才能讓大家對於「頻率響應」有初淺的瞭解，首先要大家釐清的觀念是，在示波器上所觀察的的波形，大多是以時間作為橫軸，振福為縱軸的一個波形，這也是一般我們習以為常的一種觀察訊號的方法，自然界中也有不少得類似現象，不過，今天要告訴大家的是從另外一種觀點—頻率，來觀察我們的訊號。

先告訴大家一個觀念，物理界所有週期性的波，都可以把它拆成許多大小不同、頻率不同的弦波，舉個例子來說罷：

 

 

 

 

 

Fig. 1

上圖中的X(t)其實可以拆解成X0(t)、 X1(t)、 X2(t)、 X3(t)四個大小、頻率都不相同的弦波，這樣的一個例子，希望給大家一個觀念，除了在示波器上觀察到的訊號之外，還能從頻率的觀點上去分析訊號，試著瞭解訊號本身是由很多大小、頻率不同的弦波所共同組成的。

接下來要告訴大家一些關於電路的系統特性，基本上，所有我們實驗中的電路，都是一個線性非時變LTI（Linear-Time-Invariant）系統。什麼是LTI系統呢？LTI系統其實是指一個電路兼具有線性與非時變兩種特性，讓我們分別就這兩者舉例說明：

   線性：一個線性系統必須要有兩個條件

條件1：假設有兩個輸入訊號X1(t)與X2(t)，輸入一個電路之後得到的訊號是Y1(t)與Y2(t)，那麼從輸入端輸入一個X1(t)+X2(t)的訊號，從輸出端就應該要得到Y1(t)+Y2(t)這一個輸出訊號。

 

 

 

 

 

Fig. 2

條件二：如果一個輸入訊號X1(t)輸入電路中，得到一個Y1(t)的輸出訊號，那麼如果X1(t)乘以A倍，在輸出端就應該得到一個A倍的Y1(t)

 

 

 

 

 

Fig. 3

＊非時變：簡單的來說就是對於同一個電路來說，輸入相同的訊號就會相同的輸出，與時間無關，不會因為是星期二來做實驗或是星期四來做實驗而有所不同。

對於一個LTI系統來說，如果輸入一個弦波，則輸出也會是一個弦波訊號，只是大小與振幅會有所不同而已，這是一個很重要的特性，大家在往後的實驗當中，都可以應證上面這些特性。讀到這裡讓我們來綜合一下前面提到的觀念，前面提到的X(t)可以把它分解成大小、頻率不同的弦波，所以當我把這一些弦波X0(t)、 X1(t)、 X2(t)、 X3(t)都輸入電路當中，就會得到一些相對應的輸出波形(Y0(t)、Y1(t)、Y2(t)、Y3(t))，把這一些輸出波形相加，就應該跟直接把X(t)輸入電路當中所得到的Y(t)結果一樣。

 

 

 

 

 

Fig. 4

根據這樣的一個想法，所有週期性的訊號也都可以如法炮製，既然所有週期性的訊號都可以分解成弦波，那麼當我們想要分析一個電路的特性時，只要觀察不同頻率、振福的弦波訊號輸入電路後的輸出波形，大概就可以推測出來這個電路的特性，因為所有週期性的波，都是由許多振幅不同、頻率不同的弦波所組成的。這就是為什麼實驗中，我們總是輸入不同頻率、振幅的弦波，並觀察它輸出結果的原因。

接下來要要引進一個新的名詞—Phasor，這是習慣上我們在分析電路時候會運用到的技巧，我們通常會把一個輸入訊號轉換成Phasor的形式，再把它（Phasor）放到電路裡面去分析，得到的輸出結果也是Phasor的形式，但是轉換回來後就是輸出訊號了。

Fig. 5

讓我們先引用來定義一下Phasor，

Definition：

                                        The phasor associated with a given function of time, f(t) , is a complex number F , independent of t ,

such that the real part of the product of F with a complex exponential  yields f(t)

                                        f(t) = Re〔F 〕

                                        s  = σ + iω         s：complex frequency

再舉幾個例子來說明；

_由於                  =  cosθ + isinθ            Euler’s identity

        2cos(10t +π/ 6) = 2Re〔 〕  →  2  ( Phasor form)

        3cos(5t + π/10) = 3Re〔 〕  → 3   ( Phasor form)

對於還沒有學過 Complex Variable的同學來說可能有一點艱澀，不過我們可以這麼來看我們把一個Sin、Cos訊號的振福與相位角的部分拿到F裡面，把與時間相關（會隨時間改變）的部分放到一個 裡面，但是要特別注意的是，不是每一個函數都會有Phasor form，舉例來說 tcost就沒有Phasor form。

接下來說明一些跟Phasor有關的數學特性：

1.      如果f(t) → F    ( F 代表Phasor form of f(t) )

           那麼  → sF

2.      如果f(t) → F    ( F 代表Phasor form of f(t) )

           那麼 → F/s

3.      f(t) 如果可以轉換成Phasor form，那麼f(t)的Phasor form是唯一的

4.      反過來說給定一個Phasor form，對應到它的時間函數f(t)也是唯一的

大家或許有一個問題，就是為什麼要這麼麻煩呢？要把訊號轉成Phasor 來運算呢？原因是在電路的分析當中，常常會出現許多linear differential equations (with constant coefficients)，而用Phasor來運算，結果會變的很簡單，讓我們舉一個很簡單的例子來說明，下面的圖是一個電阻串聯一個電感，再接上一個訊號源，

 

 

 

 

 

Fig. 6

根據基本的電路特性，我們可以得到

Ri(t) + L = Vo cos(wt)  ------ ( i )

接下來的問題就是把i(t)給解出來，對於數學不好的人來說或許是有點麻煩，所以我們試著先把(1)轉換成Phasor form，我們假設 Vo 是Vocos(wt)的 Phasor form，那麼s = iw，假設I是i(t)的Phasor form，那麼( i )就可以轉化成

                                RI + iwLI  = Vo   -----------------( ii )

                                (R + iwL)I  = Vo              

                                I  =   =                   _where

皆下來的工作是把I轉回時間的函數

                                i(t) = Re〔 〕

                                   =          _{where  --------( iii )}

_{有興趣的同學可以把( iii )跟直接解linear differential equation所得到的答案做一個比較，看看是不是得到同樣的一個結果。上面的說明涉及了Complex variable的範疇，同學們未必可以完全瞭解，不過大家應該要知道是Phasor的功用在於簡化我們解linear differential equation 時所遭遇到的微分、積分運算，對於分析電路來說，是一個很好的工具。從( iii )中我們可以看出來i(t)的大小與相位角都與頻率有關，印證了之前我們說過的「對電路輸入弦波訊號，則輸出訊號也會是一個弦波，只是振福與相位會不同，而振福與相位與輸入訊號的頻率有關」。}

_{到此為止大家應該會發現，在只有電阻的電路裡面，電路的特性似乎與輸入訊號的頻率沒有關係，但是一旦電路中有電容與電感，整個電路的特性就與輸入訊號的頻率息息相關了，這是因為電容與電感這兩種原件，在不同頻率下，會有不同的電路特性，讓我們來分別說明一下：}

_{電容特性                                                                        電感特性}

_{i(t) = C                                                                        v(t) = L}

                                  _{I = sCV                                                                                        V = LsI}

                                 _{V / I = 1 / sC                                                                    V / I = Ls}

                               _{Z = 1 / sC = 1 / iwC                                 Z = Ls = iwL}

_{上面的表格裡面第二列分別是電容與電感的電壓電流特性，第三列是把i(t)與v(t)分別轉成Phasor form所得到的式子，從第三列的式子裡面，我們可以得到電容電感V/I的關係式，當然還是在Phasor form的形式，這時候還記得我們是怎麼定義電阻的嗎？V/I對罷！不過這一邊我們得到的關係式是Phasor的關係式，我們這時候就把V/I(Phasor form)叫做阻抗，可以把它想成是一個廣義定義的電阻值，基本上阻抗是與頻率有關的，表格裡第五列就是電容電感的阻抗了，回應我們之前的說明，電容電感的阻抗與頻率有關，而電阻的阻抗就是它的電阻值，是一個不會隨頻率而變的值。}

_{有了這樣的瞭解，我們可以簡化先前Phasor的運算，我們已經知道電容的阻是iwC是電感的阻抗是iwL而電阻就是R，讓我們來分析下面的電路}

 

 

 

 

 

Fig. 7

_{我們可以利用在電阻電路中分壓原理來解這個問題，如果上面圖中的電容改成電阻R2，那Vout = Vin，同樣的我們可以用阻抗分壓來計算Vout，Vout = Vin，而Z1、Z2分別是電阻、電容的阻抗，我們可以得到}

                                                            _{Vout = Vin =  Vin = Vin}

_{Vout=    where}   

_{如此一來我們就可以很輕鬆的得到Vout的答案，而不需要透過解方程式}

_{Vin(t) = RC + v(t)}

_{因為阻抗的觀念已經把電容電感的特性包含進去了。特別要說明的是Phasor的技巧不能夠用於不是弦波(sin、cos)的訊號。}

_{接著我們可以介紹頻率響應這個名詞了，綜合上面的討論，我們發現很多電路的輸出，都與輸入訊號的頻率有關，所以我們希望對於這兩者的關係能有很清楚的掌握，幫助我們清楚地知道電路的適用範圍，接下來舉一個簡單的例子來說明頻率響應：}

電路

 

_{100mV 10Hz弦波                                                                                                                       3V 10Hz 弦波}

電路

 

_{100mV 100Hz弦波                                                                                                                          3.5V 100Hz 弦波}

電路

 

_{100mV 1KHz弦波                                                                         4V 1KHz 弦波}

電路

 

_{100mV 5KHz弦波                                                                                                                      5.0V 5KHz 弦波}

電路

 

_{100mV 10KHz弦波                                                                                                                     5.0V 10KHz弦波}                      

電路

 

_{100mV 50KHz弦波                                                                                                                      5.0V 50KHz弦波}

 

 

 

 

 

 

 

電路

 

_{100mV 100KHz弦波                                                                                                4.5V 100KHz弦波}

電路

 

_{100mV 500KHz弦波                                                                                                                        3.5V 500KHz弦波}

電路

 

_{100mV 1MHz弦波                                                                                                                         2.0V 1MHz弦波}

_{Fig. 8}

_{這就是我們平常對電路做的頻率響應，針對同一個振福的訊號，改變頻率，並觀察輸出訊號的振福變化，以上面的例子來說，當我輸入100mV的弦波進入電路，頻率由小到大遞增，發現輸出訊號由小變大，到達一個峰值後又逐漸變小，最大振福是5.0V，在這些頻率當中我們特別注意到的是100Hz與500KHz，因為這兩個頻率下輸出訊號的振福為峰值的 倍，從能量的觀點來說，訊號衰減了1/2，我們把這些使得輸出訊號振福為峰值的 倍的頻率做f3db(3db點)。}

_{上面的例子裡f3db分別為100Hz與500Kz，而我們分別給予f3dbL、f3dbH的命名，而在所為的頻寬（Bandwidth）就是f3dbH － f3dbL，也這是指在f3dbL、f3dbH中間這一段頻率，不過並不是所有的電路都會出現兩個f3db，有時候我們會根據電路的頻率響應，給予電路不同的名稱，舉例來說：頻率低的訊號輸出振福很小，頻率高的訊號才會有較大的振福，這樣的電路被稱為High-pass filter，而反之稱為Low-pass filter，那只有在某一段頻率範圍才會有比較大的振福的電路就被稱為Band-pass filter。}

 

 

 

 

 

Fig. 9