RMQ问题

作者：dylantsou

出处：http://blog.csdn.net/dylantsou

引言：

        在本人的上一篇关于后缀数组的博客中，在例2求最长回文子串中提到过：要求其一个数组中任意区间的最大最小值，是一个RMQ问题，在那篇博客中因为重点是后缀数组，所以对于该问题没有展开讲述，本文就来为大家做进一步的讲解。

原理：

          RMQ （Range minimum/maximum query）问题：

已知数组A，长度为n，求在范围[i,j]间的最大值(i<j<n)。

         此问题很显然可以直接从i遍历到j求得最大值，时间复杂度为O(n)，这是朴素算法。但是对于RMQ问题，一般会让你多次求取一段区间内的最大值。例如：对于长度为8的数组，分别求出间隔为4的区间内的最大值，这就需要求出区间 [0,4] [1,5] [2,6] [3,7]内的最大值。如果每一次都用朴素算法，则时间复杂度为O(n²)，而且会有很多的重复计算。

         这就需要一种更高效的方法，今天我们要介绍的是ST算法，一种基于动态规划的算法。他先用O(logn)的时间进行预处理，求出任意区间内的最大值，然后在查询时只要O(1)时间就能得到结果。方法如下：

1、定义：

       d[i,j] 是范围[i,i+j²-1]间最大值。

2、最佳子结构：

        [a,b]区间的最大值T，可以用[a,m]区间的最大值M和[n,b]区间的最大值N来求得，即T = max(M,N)。但需要有一个前提条件，就是这两个子区间的合集能够包含所有[a,b]区间内的元素，即m+1>= n.

        [a,m]区间的最大值可以用d[a,k]表示，即[a,a+2^k-1]区间最大值；

        [n,b]区间的最大值可以用d[b-2^k+1,k])表示，即[b-2^k+1,b]区间最大值。

        所以，只要满足a+2^k>= b-2^k+1, [a,b]区间的最大值就可以用max(d[a,k],d[b-2^k+1,k])表示，此时k>=log₂(b-a+1)– 1。

 

3、递推公式：

        用d[i,j]表示[i,i+2^j-1]间最大值，也就a=i, b= i+2^j-1，取k = log₂(b-a+1) -1 = log₂(i+2^j-1-i+1) -1 = j-1.

        则 d[i,j]  = max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])

                      =max(d[ i, j-1 ], d[i+2^j-1 – 2^j-1+1,j-1])

                      = max(d[i,j-1],d[i+2^j-1,j-1])

 

4、自底向上构造：

        i是区间起始位置，其范围为[0,n)；j要满足2^j-1<n，所以j< log₂(n+1)。当j=0时，d[i,0]表示区间[i,i+2⁰-1]的最大值，也就是A[i]的值。所以可以根据d[i,j] = max(d[i,j-1],d[i+2^j-1,j-1])构造出整个d数组。

 

5、求区间最大值方法：

         [a,b]区间的最大值为max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，取k为满足k>=log₂(b-a+1)– 1的最小值。因为d数组在预处理时已经得到，所以d[a,k], d[b-2^k+1,k]都可以直接带值。

实现：

 

#include <math.h>#include <stdlib.h>#define MAX#ifdef MAX#define CMP(x,y) (x)>(y)?(x):(y)#else#define CMP(x,y) (x)<(y)?(x):(y)#endif//RMQ问题，用d[i,j]来表示[i,i+j^2-1]范围内的最大值，则d[i,j] = max(d[i,j-1],d[i+2^(j-1),j-1])//预处理，求出d数组void RMQ(int* array,int*d,int n,int m){//对于j=0的情况，进行初始化for(int i = 0; i < n; i++)d[i*m] = array[i];//自底向上，迭代出d数组int x,y;for(int j = 1; j < m; j++){for(int i = 0; i+(j^2) <= n; i++){x = d[ i*m + j-1 ];y = d[ (i+2^(j-1))*m + j-1 ];d[ i*m+j ] = CMP(x,y);}}}//获取array数组中，从i到j的最值，其中d是由array数组推导出来的,m是它的列数int GetValue(int i,int j,const int* d,int m){if(i>j)return 0;//因为[i,j]间最值为CMP(d[i,k],d[b-2^k+1,k]),所以k要满足k>=log2(b-a+1)-1int k = log(float(j-i+1))/log(float(2));int x = d[ i*m + k ];int y = d[ (j-2^k+1)*m + k ];return CMP(x,y);}int main(){int a[8] = {50,12,43,34,52,36,37,8};int m = log((float)8)/log((float)2) + 1;//又j^2-1 <= n-1确定最大的jint* d = (int*)malloc( sizeof(int) * 8 * m );RMQ(a,d,8,m);int r = GetValue(1,7,d,m);}