[Solver] SPOJ FINFRAC

题目地址：http://www.spoj.com/problems/FINFRAC/

题目大意：

给4个整数a,b,c,d，寻找两个整数p，q，使得a/b < p/q < c/d，需要q是最小的，如果存在多个解，那么找到p是最小的。

解法1（证明不严格）：

有个序列叫做法雷序列，法雷序列的神奇之处在于如果a/b < c/d，则 a/b < (a+c)/(b+d) < c/d，那么还有 a/b < (2a+c)/(2b+d) < (a+c)/(b+d) < (a+2c)/(b+2d) < c/d

我们发现前面的分数“参与”的越多，则结果越接近前面的分数，反之亦然。

受此启发，设两个权重x>0和y>0（如果等于0，就不能严格大于小于了），有 a/b < (xa+yc)/(xb+yd) < c/d

可以证明(xa+yc)/(xb+yd)可以覆盖a/b和c/d之间的所有分数，所以我们要求的p/q也必然是这种形式。

题意要求p和q都是最小，那么就是(xa+yc)和(xb+yd)的gcd尽可能大，然后把gcd约分下去，分子分母才能比较小。

问题转化为求gcd(xa+yc,xb+yd)，其中abcd已知，x，y为所求，换种写法gcd(ax+cy,bx+dy)，这里可以利用欧几里得辗转相除，举个例子。

a = 7, b = 5, c = 8, d = 5，则gcd(7x+8y,5x+5y) = gcd(2x+3y,5x+5y) = gcd(2x+3y,3x+2y)，这时没法继续了，因为一边x多，一边y多，那就假设它们相等，

即2x + 3y = 3x + 2y，解得x = y，代入原式得 (7x+8y)/(5x+5y) = 15x / 10x = 3/2。

代码如下：

#include <stdio.h>#define LL long long#define ABS(x) ( (x) < 0 ? -(x) : (x) )LL  gcd( LL a, LL b ) {        while( b > 0 ) {                LL  t = a % b;                a = b;                b = t;        }        return a;}void  solve( int a, int b, int c, int d, int& x, int& y ) {        x = y = 1;        int  t1, t2;        while(1) {                t1 = t2 = 0x7fffffff;                if( a >= b && c >= d ) {                        if( b > 0 ) t1 = a / b;                        if( d > 0 ) t2 = c / d;                        if( t1 > t2 ) t1 = t2;                        a -= t1 * b;                        c -= t1 * d;                }                else if( a <= b && c <= d ) {                        t1 = a; a = b; b = t1;                        t2 = c; c = d; d = t2;                }                else break;        }        x = ABS( c - d );        y = ABS( a - b );        if( x == 0 ) x = 1;        if( y == 0 ) y = 1;}int main() {        int  a, b, c, d, x, y, tmp;        LL   p, q, tmp2;        while( scanf( "%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d ) == 4 ) {                tmp = gcd( a, b ); a /= tmp; b /= tmp;                tmp = gcd( c, d ); c /= tmp; d /= tmp;                solve( a, b, c, d, x, y );                p = a * (LL)x + c * (LL)y;                q = b * (LL)x + d * (LL)y;                tmp2 = gcd( p, q );                printf( "%lld/%lld\n", p / tmp2, q / tmp2 );        }        return 0;}

解法2（看了网上的答案）：

设[a/b]表示a/b向下取整

2.1  如果a/b >= 1，设k = [a/b]，可以知道 ( a/b ) - k < ( p/q ) - k < ( c/d ) - k，即 (a-bk)/b < (p - qk)/q < ( c- dk) / d，设a' = a - bk，p' = p - qk，c' = c - dk，则求出a'/b < p'/q < c'/d的解以后，p = p' + qk，可以得到真实的p和q。如果知道了a，b，q，那么p还有另一种求法（也就是说不需要从递归中获取p'也可以），就是p = q * a / b + 1（如果看成整数），这是因为p > q * a / b（如果看成浮点数），而整数运算除法会舍弃余数，所以正好加1。

2.2  如果a/b<1

    2.2.1  如果c/d>1，那么p = q = 1

    2.2.2  如果c/d<=1，那么问题可以转化为d/c < q/p < b/a

代码如下：

#include <stdio.h>#define LL long longLL  findq( LL a, LL b, LL c, LL d ) {        if( a < b ) {                if( c > d ) return 1;                else  return  findq( d, c, b, a ) * d / c + 1;        }        else {                LL  k = a / b;                return  findq( a - k * b, b, c - k * d, d );        }}int main() {        LL  a, b, c, d, p, q;        while( scanf( "%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d ) == 4 ) {                q = findq( a, b, c, d );                p = q * a / b + 1;                printf( "%lld/%lld\n", p, q );        }        return 0;}

参考资料：

http://apps.topcoder.com/forums/;jsessionid=627E3C18A18ED2AA6A5B4BDB4F1A0C3D?module=RevisionHistory&messageID=1204829

wxcc的代码：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/viewSource.action?id=192084