关于右手坐标系

最近在研究XNA，因为它的是采用右手坐标系 所以搜罗了篇文章，以便存根 

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底i，j，k｝来表示．在这一小节中，我们研究单位正交基底下的坐标运算．，常常用｛

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(图9－61)．以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴O－xyz，点O叫做原点i、j、k都叫做坐标向量xOy平面，yOz平面，zOx平面．．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为，向量．这时我们说建立了一个空间直角坐标系

作空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝120°，∠yOz＝90°．

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量(图9－61)，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使

a＝a1i＋a2j＋a3k．

有序数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标．上式可简记作

a＝(a1，a2，a3)．

在空间直角坐标系O－xyz中(图9－61)，对空间任一点A，对应

叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标．，，，记作

2．向量的直角坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；

a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；

λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

证明方法与平面向量的坐标运算类似，请同学们自己完成．

例1　 已知a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a· b．

解： a＋b＝(2，－3， 5)＋(－3，1，－4)

＝(2－3，－3＋1，5－4)＝(－1，－2，1)；

a－b ＝(2，－3， 5)－(－3， 1，－4)

＝(2＋3，－3－1，5＋4)＝(5，－4，9)；

8a＝8(2，－3， 5)＝(8×2，8×(－3)，8×5)

　＝(16，－24， 40)；

a·b＝(2，－3，5)·(－3，1，－4)

＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29．

例2　 如图9－62，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证D1F⊥平面ADE．

证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，且设

以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则

∴ D1F⊥AD．

∴D1F⊥AE．

又AD∩AE＝A，

∴D1F⊥平面ADE．