母函数详解(Generating function)

母函数，顾名思义，就是母亲函数。那就说明在这个函数里面还有个儿子，即子函数。说白了，就是子函数可以看作是母函数的一个子集。

那么如何把这些子函数用一个母函数来表示呢？（通项公式）解决了这个问题，后面的问题就容易多了。

也可以理解为：母函数就是一个多项式前面的系数的一个整体的集合，子函数就是这个多项式中每一项前面的系数。

首先，先看这个多项式：

由此可以看出：

x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中包含n个元素中取2个元素的全体组合

同理：x3项的系数包含了从n个元素中取3个元素的全体组合

以此类推。

若令a1=a2=...an=1，则进一步得到

母函数定义：

对于序列a0,a1,a2...构造一函数：

称函数G（x）是序列a0,a1,a2...的母函数。

引用HDU的例题:

例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？

如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。
我们用x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，则：
 1个1克的砝码可以用函数1+x^1表示，
 1个2克的砝码可以用函数1+x^2表示，
 1个3克的砝码可以用函数1+x^3表示，
 1个4克的砝码可以用函数1+x^4表示，

为什么1个3克的砝码用1+x^3来表示呢？1可以看成x^0，即质量为0的砝码，这样3克砝码的就有两种状态（不放x^0 或者 放x^3）。

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^3+x^4+x^7)
=1+x^1+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。
例如右端有2x^5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1。 

例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

注意~例1是一种一枚，而此题邮票是允许重复的，故母函数是：

以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4。

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里引出两个概念：“整数拆分”和“拆分数”

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。