数据结构基础攻略——图（Graph）

图（Graph）

1.基本概念

1）图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，可表示为G(V,E)。

2）图的边或弧具有与它相关的数叫做权（Weight）。这种带权的图称为网（Network）。

3）在无向图中，与顶点v相关联的边的数目称为顶点v的度（Degree）。在有向图中，以顶点v为头的弧的数目称为v的入度（InDegree）；以v为尾的弧的数目称为v的出度（OutDegree）；顶点v的度为其入度与出度之和。

4）第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环（Cycle）。

5）在无向图G中，如果从顶点v到顶点u有路径，则称v与u是连通的；如果对于图中任意两个顶点u、v都是连通的，则G是连通图（Connected Graph）。

6）在有向图G中，如果对于每一对u、v，从u到v和从v到u都存在路径，则G是强连通图；有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。

7）一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

2图的存储结构

1）邻接矩阵（Adjacency Matrix）

用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的弧或边的信息。

2）邻接表（Adjacency List）

它是由顶点表和边表组成。其中，顶点表用各个顶点的data和firstedge两个域表示，data是数据域，firstedge是指针域；边表结点由adjvex和next两个域组成，adjvex是邻接点域，next是下一个结点的指针。

3）十字链表（Orthogonal List）

它是针对有向图提出的优化存储结构，把邻接表与逆邻接表结合起来，也是由顶点表和边表组成。其中，顶点表结点由data、firstin和firstout三个域组成，data是数据域，firstin是入边表头指针，firstout是出边表头指针；边表结点由tailvex、headvex、headlink、taillink四个域组成，tailvex和headvex分别是弧起点、弧终点在顶点表的下标，headlink和taillink分别是指向起点、终点相同的下一条边。

4）邻接多重表

它是针对有无图提出的优化存储结构，仿照了十字链表的结构。其中，顶点表用各个顶点的data和firstedge两个域表示，data是数据域，firstedge是指针域；边表结点由ivex、jvex、ilink、jlink四个域组成，ivex和jvex分别是该边的两个顶点在顶点表中的下标；ilink和jlink分别是指向依附在顶点ivex、顶点jvex的下一条边。

5）边集数组

它由顶点数组和边数组构成的。顶点数组是存储顶点信息；边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成。在求最小生成树的Kruskal算法会用到边集数组。

3图的遍历（Traversing Graph）

从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程称为图的遍历。

1）深度优先遍历（Depth First Search）

它从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直到图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。（它是一个递归的过程，类似于一棵树的前序遍历）

2）广度优先遍历（Breadth First Search）

它从图中的某个顶点v出发，并访问此顶点，然后从v出发，访问v的各个未曾访问的邻接点u1、u2、……、uk，再依次从u1、u2、……、uk出发访问各自未被访问的邻接点……直到全部顶点都被访问为止。（它需要队列来存取顶点，类似于一棵树的层序遍历）

4.最小生成树（MinimumCost Spanning Tree）

构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。

1）普利姆（Prim）算法

它是一种连续地一步步长成最小生成树的一种方法。在每一步，都要把一个结点当作根并往上加边，即把相关联的顶点加到增长中的树上了。算法的任一阶段，通过选择边（u，v），使得（u，v）的值是所有未加入生成树的边的值中的最小值，并把这个新找出的顶点v添加到这棵树上（设u已经在树上）。Prim算法基本上与求最短路径的Dijkstra算法相同的。算法的时间复杂度为O(n²)。

2）克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

它是连续地根据边上权值的升序排列来选择边，当所选的边不产生回路时，就把该边添加到生成树集合中，否则放弃该边继续检验一条边是否满足不产生回路的条件，重复此操作，直到所有顶点都在同一个连通分量上(生成树被添加了n-1条边)。操作过程中，用到了边集数组来表示图。算法的时间复杂度为O(eloge)。

5最短路径（Shortest Path）

对于网图来说，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最小的路径。并且，我们称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。

1）迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

与最小生成树的普利姆（Prim）算法相似。在每个阶段，Dijkstra算法选择一个在源点和终点之间的顶点v，它在所有未被选中的顶点中具有最短路径，在这个最短路径的基础上再求其他更远顶点的最短路径，直到到达终点为止。算法的时间复杂度为O(n²)。

2）费洛伊德（Floyd）算法

在求顶点u到顶点v的最短路径，我们假设D(u，v)为u到u的最短路径的距离，如果我们能够找到一个中间结点w，使得D(u，w)+ D(w，v) < D(u，v)成立，则从u到w再到v的路径比u直接到v的路径短，所以可以用D(u，w)+ D(w，v) 取代 D(u，v)，当遍历完所有的中间点w，D(u，v)就是u到v的最短路径的距离。算法中通过一个对应顶点的最小路径的前驱矩阵来存储路径。算法的时间复杂度为O(n³)，因为它完成了所有顶点到所有顶点的最短路径的计算。

6拓扑排序（Topological Sort）

在一个有向图G中，将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图G中边集E上的任意一条边（u，v），在顶点序列中顶点u必须在顶点v之前。

1）AOV网（Activity On Vertex Network）

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，称为AOV网。

2）AOV网的拓扑排序

开始时将AOV网中所有入度为0的顶点入栈，再选择一个入度为0的顶点出栈，同时删除以此顶点为尾的弧（此顶点的邻接点的入度减少1），并将新增的入度为0的顶点压入栈，继续重复次步骤，直至输出全部顶点或者AOV网中不存在入度为0的顶点为止。

7关键路径（Critical Path）

1）AOE网（Activity On Edge Network）

在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网。

2）关键路径算法

先对AOE网进行拓扑排序，并且计算各个顶点的etv，再根据etv、ltv、ete和lte之间的关系计算出ltv、ete和lte，最后再判断哪些活动的ete与lte相等，则该活动即为关键活动。所求出的关键活动一起组成关键路径。

a）事件的最早发生时间etv（earliest time of vertex）

顶点k的最早发生时间计算如下：

etv(k)=max{etv(j)+weight<j,k>}，j∈T

其中，T是以顶点k为尾的所有弧的头顶点的集合，对于顶点0（源点），即k=0，etv（0）=0。

b）时间的最晚发生时间ltv（latest time of vertex）：即顶点v的最晚发生时间，超过此时间会延误整个工期。

从完成汇点 出发，即k=n-1，此时有ltv(k)=etv(k)，按逆拓朴序列求各个顶点的ltv：

ltv(k)=min{ltv(j)-weight<k,j>}，j∈S

其中, S 是以顶点j为头的所有弧的尾顶点集合。

c）活动的最早开工时间ete（earliest time of edge）：

弧<j,k>的最早发生时间

ete(<j,k>)=etv(j).

d）活动的最晚发生开工时间lte（latest time of edge）：不延误工期的最晚开工时间。

弧<j,k>的最晚开工时间

lte(<j,k>)=ltv(k) -weight<j,k>.

如果ete(<j,k>)与lte(<j,k>)相等，则活动<j,k>即为关键活动。

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