【vijos1067】【矩阵乘法】守望者的烦恼

很经典的一道动态规划题目。

方程为:f[i] = ∑f[i-j]j∈[1,k]

这是一个线性递推式，任意的线性递推式都可以使用矩阵乘法来加速。

“我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项”(转自Matrix67)：
    

这道题n的范围很大，所以可以使用矩阵乘法来优化。

只要构造出一个符合题意的矩阵即可。

代码:

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int mo = 7777777;const int maxn = 20;struct Matrix{long long v[maxn][maxn];int x,y;Matrix(){memset(v,0,sizeof(v));x = y = 0;}}op,f;long long n,k;void init(){freopen("vijos1067.in","r",stdin);freopen("vijos1067.out","w",stdout);}void readdata(){scanf("%lld%lld",&k,&n);}Matrix mtMul(Matrix A,Matrix B){if(!A.x || !A.y)return B;Matrix C;C.x = A.x;C.y = B.y;for(int i = 1;i <= A.x;i++){for(int j = 1;j <= B.y;j++){for(int k = 1;k <= A.y;k++){C.v[i][j] = (A.v[i][k] * B.v[k][j] + C.v[i][j]) % mo;}}}return C;}void solve(){for(int i = 1;i <= k;i++){for(int j = 1;j <= k;j++){if(j == i + 1)op.v[i][j] = 1;if(i == k)op.v[i][j] = 1;}}op.x = k;op.y = k;f.v[k][1] = 1;f.x = k;f.y = 1;while(n){if(n & 1)f = mtMul(op,f);n >>= 1;op = mtMul(op,op);}printf("%lld\n",f.v[k][1]);}int main(){init();readdata();solve();return 0;}