floyd算法

Ak(i,j)：表示从i到j中途不经过索引比k大的点的最短路径。 这个限制的重要之处在于，它将最短路径的概念做了限制，使得该限制有机会满足迭代关系，这个迭代关系就在于研究：假设Ak(i,j)已知，是否可以借此推导出Ak-1(i,j)。 假设我现在要得到Ak(i,j)，而此时Ak(i,j)已知，那么我可以分两种情况来看待问题：1. Ak(i,j)沿途经过点k；2. Ak(i,j)不经过点k。如果经过点k，那么很显然，Ak(i,j) = Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j)，为什么是Ak-1呢？因为对(i,k)和(k,j)，由于k本身就是源点（或者说终点），加上我们求的是Ak(i,j)，所以满足不经过比k大的点的条件限制，且已经不会经过点k，故得出了Ak-1这个值。那么遇到第二种情况，Ak(i,j)不经过点k时，由于没有经过点k，所以根据概念，可以得出Ak(i,j)=Ak-1(i,j)。现在，我们确信有且只有这两种情况---不是经过点k，就是不经过点k，没有第三种情况了，条件很完整，那么是选择哪一个呢？很简单，求的是最短路径，当然是哪个最短，求取哪个，故得出式子： Ak(i,j) = min( Ak-1(i,j), Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j) ) 现在已经得出了Ak(i,j) = Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j)这个递归式，但显然该递归还没有一个出口，也就是说，必须定义一个初始状态，事实上，这个初始状态取决于索引k是从0开始还是从1开始，上面的代码是C写的，是以0为开始索引，但一般描述算法似乎习惯用1做开始索引，如果是以1为开始索引，那么初始状态值应设置为A0了，A0(i,j)的含义不难理解，即从i到j的边的距离。也就是说，A0(i,j) = cost(i,j) 。由于存在i到j不存在边的情况，也就是说，在这种情况下，cost(i,j)无限大，故A0(i,j) = oo（当i到j无边时） 到这里，已经列出了求取Ak(i,j)的整个算法了，但是，最终的目标是求dist(i,j)，即i到j的最短路径，如何把Ak(i,j)转换为dist(i,j)？这个其实很简单，当k=n（n表示索引的个数）的时候，即是说，An(i,j)=dist(i,j)。那是因为当k已经最大时，已经不存在索引比k大的点了，那这时候的An(i,j)其实就已经是i到j的最短路径了。 从floyd算法中不难看出，要设计一个好的动态规划算法，首先需要研究是否能把目标进行重新诠释（这一步是最关键最富创造力的一步），转化为一个可以被分解的子目标，如果可以转化，就要想办法寻找数学等式使目标收敛为子目标，如果这一步可以实现了，还需要研究该递归收敛式的出口，即初始状态是否明确（这一步往往已经简单了）。原始代码：

void floyd() { for(k=0;k<n;k++) for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) A[i][j]=min(A[i][j],A[i][k]+A[k][j]); }