hdu 2602

01 背包

首先是问题描述：给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值是pi，背包的容量是M，问如何选择装入背包中的物品总价值最大？

可以这样理解：背包的背负有上限，因此在这个上限内尽可能多的装东西，并且价值越多越好。

在这里我之想讨论动态规划解决这个问题的详细过程。

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。因为背包的最终最大容量未知，所以，我们得从1到M一个一个的试，比如，刚开始任选N件物品中的一个，看对应的M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多少空间，则，多出来的空间能放N-1物品中的最大价值，怎么能保证总选则是最大价值呢，看下表：
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.

#include <stdio.h>#include <string.h>int m[1005][1005];int w[1005],v[1005];int min(int a,int b){return a>b?b:a;}int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int knapsack(int n,int c){int i,j,jMax;jMax=min(w[n],c);for(i=0;i<=jMax;i++)m[n][i]=0;for(i=w[n];i<=c;i++)m[n][i]=v[n];for(i=n-1;i>1;i--){jMax=min(w[i],c);for(j=0;j<=jMax;j++)m[i][j]=m[i+1][j];for(j=w[i];j<=c;j++)m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);}m[1][c]=m[2][c];if(c>=w[1]){m[1][c]=max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);}return m[1][c];}int main(){int n,c,i,t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d %d",&n,&c);{memset(m,0,sizeof(m));memset(v,0,sizeof(v));memset(w,0,sizeof(w));for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&v[i]);}for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&w[i]);}knapsack(n,c);printf("%d\n",m[1][c]);}}return 0;}