求解最大子序列和

从一串数据中算出最大的子序列和，这里提供了三种方法，方案一到方案三中算法由劣到优。
例如：-2,11，-4,13，-5，-2，答案为20（从A2到A4）


方案一：
public static int maxSubSum(int a []){
   int maxSum=0;
   for(int i=0; i<a.length; i++)
       for(int j=i; j<a.length; j++){
             int thisSum=0;
             for(int k=i; k<=j; k++)
                  thisSum+=a[k];
             if(thisSum>maxSum)
                  maxSum=thisSum;
          }
   return maxSum;
}
此种方案的时间复杂度大概为N的三次方，可以这样来分析：三次for循环，每次循环为N，所以三次迭代的循环大概为N的三次方。


方案二：
public static int maxSubSum(int a []){
   int maxSum=0;
   for(int i=0; i<a.length; i++){
         int thisSum=0;
         for(int j=i; j<a.length; j++){
             thisSum+=a[j];
             if(thisSum>maxSum)
                maxSum=thisSum;
          }
       }
   return maxSum;
}
此种方案的时间复杂度为N的平方，理解与第一种相同，这种方法相对于第一种方案较好。


方案三：
public static int maxSubSum(int a []){
   int maxSum=0;
   int thisSum=0;
   for(int i=0; i<a.length; i++){
         thisSum+=a[i];
         if(thisSum>maxSum)
            maxSum=thisSum;
         else if(thisSum<0)
            thisSum=0;
       }
   return maxSum;
}
此种方案的时间复杂度为N，在三种方案中最优。运行时间是明显的，但是不容易看出正确性。我们可以分析出这样的结论，如果a[i]是负的，那么它不可能代表最优序列的起点，因为任何包含a[i]的作为起点的子序列都可以通过用a[i+1]作为起点而改进。类似地，任何负的子序列不可能是最优子序列的前缀（原理相同）。


小结：其实除此三种算法，还有一种时间复杂度为N*logN的递归算法。方法稍微有点复杂，如果读者感兴趣可以借鉴其他文章。