[算法] 从一个 Google 面试题想到的

　　前一段时间看到一道 Google 的面试题在各大论坛被炒得很火，题目如下：“有一个100层高的大厦，你手中有两个相同的玻璃围棋子。从这个大厦的某一层扔下围棋子就会碎，用你手中的这两个玻璃围棋子，找出一个最优的策略，来得知那个临界层面。”题目虽然看起来简单，但是仔细想想，此题中蕴含的算法道理以及实用价值还是很值得好好研究一下。石头在网上也看到了不少热心朋友的解法（CSDN、ChinaUnix），看过之后感觉还是挺有启发的，于是总结一下，主要的算法有以下几种：

　　<1> 等分段求最小值：这种算法先假设把大楼分成等高的 x 段，这样在最差的情况下，要确定临界段，我们需要投掷 100/x-1 次，确定了临界段之后要确定临界层，我们需要再投掷 x-1 次。这样，问题就成了求函数 f(x)=(100/x-1)+(x-1) 的最小值问题。由于 f(x) 存在最小值且只有一个驻点，所以当 x=10 时 f(x) 取得最小值，最小值为18。

　　<2> 假设投掷次数是均匀分布的，那么为了使最坏情况的投掷数最小，我们希望无论临界段在哪里，总的投掷数都不变（也就是说将投掷数均匀分布）。这样我们就可以假设第一次投掷的层数是 f，转化成数学模型，可以得到如下方程式 f+(f-1)+...+2+1>=99，即 f(f+1)/2>=99 的最小整数解，解出结果等于14。程序算法如下：

// Equation.cpp
#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int f (int i) ...{
int r;
int s = 0;
while (i >= 1) ...{
s = s + i;
i--; 
}
if (s >= 99) return 1;
else return 0;
}

int main () ...{ 
int m;
int n;
for (m = 1; m <= 100; m++) ...{
if (f(m) == 1) ...{
n = m; break;
}
}
printf("The result is : %dn", n);
system("pause");
}

 　　按结果分析看来，方法一的最小值的确比较小（10）但是问题是最大值无法确定（比如假设临界层在第99层则需要仍19下）；而方法二的算法好在能得出一个固定的临界层值，这样便于一些问题的处理。总的来说，石头认为两种方法各有所长，虽然方法二看起来的确更接近出题者的本意，但是如果将棋子本身破碎的概率也考虑进去就不一定了（当然，一般来说层数越高破碎的概率应该越大，但是我们试想一下如果假设棋子破碎的几率是和层数成反比，那么使用方法一是否会有更好的效果呢？）。然而不管出题者的意图是什么，我觉得这个题目所引出的数学模型还是很有实用意义的，特别在一些数据挖掘应用中。我猜想这些算法是不是与 Google 数据库的技术内幕有什么联系呢 ... 前几天和一个业内的前辈谈起下一代互联网的技术趋势，说到了所谓的“算法时代”的话题，看来关注一些有趣的算法也不错呢 ... 不知不觉时间又晚了，还是先休息吧 ：）