动态规划考智商 智商是硬伤

2013编程之美资格赛题目——踩方格

描述

有一个方格矩阵，矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设：
a. 每走一步时，只能从当前方格移动一格，走到某个相邻的方格上；
b. 走过的格子立即塌陷无法再走第二次；
c. 只能向北、东、西三个方向走；
请问：如果允许在方格矩阵上走n步，共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案。
输入
允许在方格上行走的步数n

 输出

计算出的方案数量
对于小数据1 <= n <= 20; 对于大数据1 <= n <= 100.

 样例输入

2

样例输出

7

自己一开始做时，用了递归搜索的方法，小数据当然过了，大数据显然TLE了。此题典型的动态规划方法解，一开始也往这方面去想，但碍于自己的智商太低，想不出来推导公式，赛后，看了网上的大神的讲解，才看懂了这题怎么做。

设 F[n,1]为第n步向北走的方案数，

F[n,2]为第n步向东走的方案数，

F[n,3]为第n步向西走的方案数，

则可以列出以下动归方程：

F[n,1] = F[n-1,1]+F[n-1,2]+F[n-1,3]  , （1）解释：在第n步之前，第n-1步是向东、北、西方向走的，三个方向都可以

F[n,2] = F[n-1,1] +F[n-1,3], （2）解释：第n-1步只能向北和西走，由于题目限制不能倒走

同理

F[n,3] = F[n-1,1] + F[n-1,2]  （3）

总方案数为：

F[n,0] = 3*F[n-1,1] + 2*F[n-1,2] + 2*F[n-1,3]

即
F(n, 0) = 2F(n - 1, 0) + F(n - 1, 1) = 2F(n - 1, 0) + f(n - 2, 0)

如果不一步一步推到，最终的结果几乎不能看出来。。。

ps：xhEditor怎么没有数学公式编辑器呢？